ما هي معادلات ماكسويل وكيف يتم تعريفها؟

أنجيل زامورا راميريز | يوليو. 2022
شهادة في الفيزياء

قبل هذه المعادلات ، قيل إن القوى الكهربائية والمغناطيسية هي "قوى على مسافة" ، ولم تكن هناك وسيلة مادية معروفة من خلالها سيحدث هذا النوع من التفاعل. بعد سنوات عديدة من البحث عن كهرباء ص المغناطيسية، حدس مايكل فاراداي أنه يجب أن يكون هناك شيء مادي في الفراغ بين الشحنات والتيارات الكهربائية التي من شأنها أن تسمح لها بالتفاعل مع بعضها البعض وإظهار كل الظواهر الكهربائية والمغناطيسية التي كانت معروفة ، أشار إليها في البداية باسم "خطوط القوة" ، مما أدى إلى فكرة وجود مجال كهرومغناطيسي.

بناءً على فكرة فاراداي ، طور جيمس كليرك ماكسويل نظرية مجال ممثلة بأربع معادلات تفاضلية جزئية. أشار ماكسويل إلى هذا باسم "النظرية الكهرومغناطيسية" وكان أول من دمج هذا النوع من اللغة الرياضية في نظرية فيزيائية. معادلات ماكسويل في شكلها التفاضلي للفراغ (أي في حالة عدم وجود مواد عازلة و / أو قابلة للاستقطاب) هي كما يلي:

\ (\ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho} {{{\ epsilon} _ {0}}} \)
\ (\ nabla \ times \ vec {E} = - \ frac {\ جزئي \ vec {B}} {\ جزئي t} \)
\ (\ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 \)
\ (\ nabla \ times \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} \ vec {J} + {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {\ جزئي \ vec {E}} {\ جزئي t} \)
معادلات ماكسويل للفراغ في شكله التفاضلي

حيث \ (\ vec {E} ~ \) هو المجال الكهربائي ، \ (\ vec {B} ~ \) هو المجال المغناطيسي ، \ (\ rho ~ \) هو كثافة الشحنة الكهربائية، \ (\ vec {J} ~~ \) هو متجه مرتبط بملف التيار الكهربائي، \ ({\ epsilon} _ {0}} ~ \) هي السماحية الكهربائية للفراغ و \ ({{\ mu} _ {0}} ~~ \) هي النفاذية المغناطيسية للفراغ. كل من هذه المعادلات تتوافق مع أ قانون الكهرومغناطيسية ولها معنى. سأشرح بإيجاز كل واحد منهم أدناه.

قانون جاوس

\ (\ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho} {{{\ epsilon} _ {0}}} \)
قانون جاوس للمجال الكهربائي

ما تخبرنا به هذه المعادلة الأولى هو أن الشحنات الكهربائية هي مصادر المجال الكهربائي ، وهذا المجال الكهربائي "يتباعد" مباشرة عن الشحنات. علاوة على ذلك ، يتحدد اتجاه المجال الكهربائي بعلامة الشحنة الكهربائية المنتجة له ​​، ويشير مدى قرب خطوط المجال إلى حجم المجال نفسه. الصورة أدناه تلخص إلى حد ما ما تم ذكره للتو.

المثال التوضيحي 1. من Studiowork. - رسم تخطيطي للمجالات الكهربائية المتولدة من شحنتين نقطيتين ، واحدة موجبة والأخرى سلبية.

يدين هذا القانون باسم عالم الرياضيات يوهان كارل فريدريش جاوس الذي صاغه بناءً على نظرية الاختلاف الخاصة به.

قانون جاوس للمجال المغناطيسي

\ (\ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 \)

قانون جاوس للمجال المغناطيسي

هذا القانون ليس له اسم محدد ، لكن سمي ذلك بسبب تشابهه مع المعادلة السابقة. معنى هذا التعبير هو أنه لا توجد "شحنة مغناطيسية" مماثلة لـ "شحنة كهربائية" ، أي أنه لا توجد أحاديات أقطاب مغناطيسية هي مصدر المجال المغناطيسي. هذا هو السبب في أنه إذا كسرنا مغناطيسًا إلى نصفين ، فسيظل لدينا مغناطيسان متشابهان ، مع قطب شمالي وقطب جنوبي.

قانون فاراداي

\ (\ nabla \ times \ vec {E} = - \ frac {\ جزئي \ vec {B}} {\ جزئي t} \)
قانون فاراداي للاستقراء

هذا هو قانون الحث الشهير الذي صاغه فاراداي عندما اكتشف عام 1831 أن الحقول المغناطيسية المتغيرة قادرة على إحداث تيارات كهربائية. ما تعنيه هذه المعادلة هو أن المجال المغناطيسي الذي يتغير بمرور الوقت قادر على إحداث حوله مجال كهربائي ، والذي بدوره يمكن أن يتسبب في تحريك الشحنات الكهربائية وإنشاء a مجرى. على الرغم من أن هذا قد يبدو مجرّدًا للغاية في البداية ، إلا أن قانون فاراداي وراء عمل المحركات والقيثارات الكهربائية ومواقد الحث.

قانون أمبير-ماكسويل

\ (\ nabla \ times \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} \ vec {J} + {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {\ جزئي \ vec {E}} {\ جزئي t} \)

أول شيء تخبرنا به هذه المعادلة هو أن التيارات الكهربائية تولد مجالات مغناطيسية حول اتجاه التيار وذاك يعتمد حجم المجال المغناطيسي المتولد على حجم هذا ، وهذا ما لاحظه Oersted وتمكن Ampère لاحقًا من صياغة. ومع ذلك ، هناك شيء مثير للفضول وراء هذه المعادلة ، وهو المصطلح الثاني في الجانب قانون قدم ماكسويل المعادلة لأن هذا التعبير كان في الأصل غير متسق مع الآخرين ، على وجه الخصوص ، أدى ذلك إلى انتهاك قانون الحفاظ على الشحنة الكهربائية. لتجنب هذا ، قدم ماكسويل ببساطة هذا المصطلح الثاني بحيث تكون نظريته بأكملها متسقة ، هذا المصطلح تلقى اسم "الإزاحة الحالية" وفي ذلك الوقت لم يكن هناك دليل تجريبي لدعمه. سوف احتياطي

المثال التوضيحي 2. De Rumruay. - تيار كهربائي يتدفق عبر كابل يولد مجالًا مغناطيسيًا حوله وفقًا لقانون أمبير.

معنى تيار الإزاحة هو ، بنفس طريقة المجال المغناطيسي المتغير يحث مجالًا كهربائيًا ، وهو مجال كهربائي يتغير بمرور الوقت قادر على توليد مجال مغناطيسي. كان أول تأكيد تجريبي لتيار الإزاحة هو إثبات وجود الموجات الكهرومغناطيسية بواسطة هاينريش هيرتز في عام 1887 ، بعد أكثر من 20 عامًا من نشر نظرية ماكسويل. ومع ذلك ، تم إجراء القياس المباشر الأول لتيار الإزاحة بواسطة M. تم العثور على R. Van Cauwenberghe في عام 1929.

الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية

أحد التنبؤات الأولى المحيرة للعقل التي قدمتها معادلات ماكسويل هو وجود الموجات الكهرومغناطيسية ، ولكن ليس هذا فقط ، فقد كشفت أيضًا أن الضوء يجب أن يكون موجة من هذا يكتب. لرؤية هذا إلى حد ما ، سوف نلعب مع معادلات ماكسويل ، ولكن قبل ذلك ، إليك شكل أي معادلة موجية:

\ ({{\ nabla} ^ {2}} u = \ frac {1} {{{v} ^ {2}}} \ frac {{{\ جزئي} ^ {2}} u} {\ جزئي {{ t} ^ {2}}} \)
الشكل العام لمعادلة الموجة في ثلاثة أبعاد.

حيث \ ({{\ nabla} ^ {2}} \) هو عامل لابلاسيان ، \ (u \) دالة موجية ، و \ (v \) هي سرعة الموجة. سنعمل أيضًا مع معادلات ماكسويل في الفضاء الفارغ ، أي في حالة عدم وجود الشحنات الكهربائية والتيارات الكهربائية ، المجالات الكهربائية والمغناطيسية فقط:

\ (\ nabla \ cdot \ vec {E} = 0 \)

\ (\ nabla \ times \ vec {E} = - \ frac {\ جزئي \ vec {B}} {\ جزئي t} \)

\ (\ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 \)

\ (\ nabla \ times \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {\ جزئي \ vec {E}} {\ جزئي t} \)

وسنستخدم أيضًا ما يلي هوية ناقلات حساب التفاضل والتكامل:

\ (\ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ vec {A} \ right) = \ nabla \ left (\ nabla \ cdot \ vec {A} \ right) - {{\ nabla} ^ {2}} \ الوقت {A} \)

إذا طبقنا هذه الهوية على المجالات الكهربائية والمغناطيسية باستخدام معادلات ماكسويل للمساحة الفارغة أعلاه ، نحصل على النتائج التالية:

\ ({{\ nabla} ^ {2}} \ vec {E} = {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {{{\ جزئي} ^ {2} } \ vec {E}} {\ جزئي {{t} ^ {2}}} \)

\ ({{\ nabla} ^ {2}} \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {{{\ جزئي} ^ {2} } \ vec {B}} {\ جزئي {{t} ^ {2}}} \)

لاحظ تشابه هذه المعادلات مع معادلة الموجة أعلاه ، في استنتاج، يمكن للمجالات الكهربائية والمغناطيسية أن تتصرف مثل الموجات (الموجات الكهرومغناطيسية). إذا حددنا سرعة هذه الموجات على أنها \ (ج \) وقارننا هذه المعادلات مع معادلة الموجة أعلاه يمكننا القول أن السرعة هي:

\ (c = \ frac {1} {\ sqrt {{{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}}}} \)

\ ({{\ mu} _ {0}} \) و \ ({{\ epsilon} _ {0}} \) هما النفاذية المغناطيسية والسماحية الكهربائية للفراغ ، على التوالي ، وكلاهما ثوابت الكليات التي تكون قيمها \ ({{\ mu} _ {0}} = 4 \ pi \ times {{10} ^ {- 7}} ~~ T \ cdot m / A \) و \ ({{\ epsilon} 0}} = 8.8542 \ times {{10} ^ {- 12}} ~ {{C} ^ {2}} / N \ cdot m ~ \) ، باستبدال هذه القيم ، لدينا أن قيمة \ (c \) هي \ (c = 299،792،458 \ frac {m} {s} \ almost 300،000 ~ km / s \) وهي بالضبط سرعة خفيفة.

من خلال هذا التحليل الصغير ، يمكننا الحصول على ثلاث استنتاجات مهمة جدًا:

1) يمكن للمجالات الكهربائية والمغناطيسية أن تتصرف مثل الموجات ، أي أن هناك موجات كهرومغناطيسية قادرة أيضًا على الانتشار من خلال الفراغ.

2) الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية تعتمد سرعتها على النفاذية المغناطيسية والسماحية من الوسط الذي ينتشر من خلاله ، في الفضاء الخالي سرعة الضوء تقريبًا 300000 كم / ثانية.

3) بما أن النفاذية المغناطيسية والسماحية الكهربائية ثوابت عالمية ، فإن سرعة الضوء هي أيضًا ثابت عالمي ، ولكن هذا يعني أيضًا أن قيمتها لا تعتمد من نطاق الذي يقاس منه.

كان هذا البيان الأخير مثيرًا للجدل إلى حد كبير في ذلك الوقت ، فكيف يمكن أن تكون هذه السرعة الضوء هو نفسه بغض النظر عن حركة الشخص الذي يقيسه وحركة مصدر الضوء. خفيفة؟ يجب أن تكون سرعة شيء ما نسبية ، أليس كذلك؟ حسنًا ، كان هذا نقطة تحول في الفيزياء في ذلك الوقت ، وأدت هذه الحقيقة البسيطة والعميقة إلى تطوير نظرية النسبية الخاصة بواسطة ألبرت أينشتاين في عام 1905.