ما هي معادلة ديراك وكيف يتم تعريفها؟

يمكن التعبير عن هذه المعادلة بعدة طرق ، وأكثرها إحكاما وتبسيطًا هو ما يعتبر من أكثر المعادلات الجمالية في العلم:

\ (\ left ({i \ nabla - \ frac {{mc}} {h}} \ right) = 0 \)

أين:
أنا: وحدة تخيلية
م: الكتلة المتبقية للإلكترون
ħ: ثابت بلانك المختزل
ج: سرعة من الضوء
: عملية جمع المشتقات الجزئية
: دالة الموجة الرياضية للإلكترون

تمثل القيمة المطلقة لمربع دالة الموجة احتمالا للعثور على الجسيم في موضع معين ، مع الأخذ في الاعتبار حجمه طاقة، السرعة ، من بين عوامل أخرى ، فضلا عن تطور في الوقت. بمعنى آخر ، تستخدم معادلة بول ديراك المصفوفات التي تعمل على المتجهات وتمثل تطورًا لمعادلة شرودنجر في فيزياء الكم النسبية.

تم استخدام معادلة ديراك في الأصل لوصف سلوك الإلكترون الخالي من التفاعل ، على الرغم من أن قابليته للتطبيق تمتد إلى

وصف من الجسيمات دون الذرية عندما تنتقل بسرعة قريبة من سرعة الضوء. تمكن ديراك من شرح السلوك المزدوج للموجة والجسيمات على المستوى دون الذري الذي كان معروفًا بالفعل في ذلك الوقت ، حيث اعتبر خصائص الجسيمات مثل الزخم الزاوي حقيقي أو تدور.

من المساهمات المهمة الأخرى لمعادلة ديراك التنبؤ بالمادة المضادة ، والتي تم إثبات وجودها لاحقًا (في عام 1932) بواسطة كارل د. يستخدم أندرسون غرفة سحابية تعرف بها على البوزيترون. كما أنه يفسر إلى حد كبير البنية الدقيقة المحددة في الخطوط الطيفية الذرية.

تُظهر الصورة الصورة الشهيرة التي التقطت خلال مؤتمر "الفوتونات والإلكترونات" عام 1927 حيث تم تصوير بعض أبرز العلماء في التاريخ. في المحيط السماوي بول ديراك.

خلفية معادلة ديراك

من أجل فهم الاعتبارات التي اتخذها ديراك في تطوير معادلته ، وكذلك الأسس التي استند إليها منهجه ، من المهم معرفة النظريات السابقة له نموذج.

أولاً ، هناك معادلة شرودنجر الشهيرة لميكانيكا الكم ، والتي نُشرت عام 1925 ، والتي تحول الكميات إلى عوامل كمومية. تستخدم هذه المعادلة الدالة الموجية () ، مع الأخذ في الاعتبار المعادلة الكلاسيكية كنقطة انطلاق لها الطاقة E = p2 / 2m وتتضمن قواعد التكميم لكل من الزخم (p) والطاقة (و):

\ (ih \ frac {\ جزئي} {{\ جزئي t}} \ يسار ({r، t} \ right) = \ left [{\ frac {{{h ^ 2}}} {{2m}} {\ nabla ^ 2} + V \ left ({r، t} \ right)} \ right] \ left ({r، t} \ right) \)

يعبر المشتق الجزئي  / t عن تطور النظام فيما يتعلق بالوقت. المصطلح الأول داخل القوس المربع يشير إلى الطاقة الحركية (\ ({\ nabla ^ 2} = \ frac {\ جزئي} {{\ جزئي r}} \ يسار ({r، t} \ يمين) \)) ، بينما يتعلق المصطلح الثاني بـ الطاقة الكامنة.

ملحوظة: في نظرية النسبية لأينشتاين ، يجب أن تدخل متغيرات المكان والزمان بالتساوي في المعادلات ، وهذا ليس هو الحال في معادلة شرودنغر ، حيث يظهر الوقت كمشتق ، والموضع باعتباره المشتق الثاني.

الآن ، على مدى قرون ، حاول العلماء إيجاد نموذج للفيزياء يوحد النظريات المختلفة ، وفي حالة تأخذ معادلة شرودنغر في الاعتبار الكتلة (م) وشحنة الإلكترون ، ولكنها لا تأخذ في الاعتبار التأثيرات النسبية التي تظهر عند الارتفاع سرعات. لهذا السبب ، في عام 1926 ، اقترح العالمان أوسكار كلاين ووالتر جوردون معادلة تأخذ في الاعتبار مبادئ النسبية:

\ ({\ left ({ih \ frac {\ part} {{\ جزئي t}}} \ right) ^ 2} = \ left [{{m ^ 2} {c ^ 4} + c {{\ left ( {- ih \ bar \ nabla} \ right)} ^ 2}} \ right] \)

تكمن مشكلة معادلة كلاين-جوردون في أنها مبنية على معادلة آينشتاين ، حيث يتم تربيع الطاقة ، لذا فهذه معادلة (كلاين-جوردون) يدمج المشتق التربيعي فيما يتعلق بالوقت ، وهذا يعني أن له حلين ، مما يسمح بالقيم السالبة للوقت ، وهذا لا معنى له بدني. وبالمثل ، فإنه يتسبب في إزعاج توليد قيم احتمالية أقل من الصفر كحلول.

في محاولة لحل التناقضات التي تنطوي عليها الحلول السلبية بأحجام معينة والتي لا تدعم هذه النتائج ، بدأ بول ديراك من معادلة كلاين-جوردون إلى خطيها ، وفي هذا الإجراء ، قدم معلمتين في شكل مصفوفات من البعد 4 ، تُعرف باسم مصفوفات ديراك أو أيضًا مصفوفات باولي ، والتي تمثل تمثيلًا لجبر غزل. يشار إلى هذه المعلمات كـ  و ` (في معادلة الطاقة ، يتم تمثيلها على أنها E = pc + mc2):

بما هو المساواة الشرط هو أن ´2 = m2c4

بشكل عام ، تؤدي قواعد التكميم إلى عمليات بمشتقات تنطبق على الدوال الموجية العددية ، ومع ذلك ، المعلمات α و عبارة عن مصفوفات 4x4 ، يتدخل العاملون التفاضليون على ناقل رباعي الأبعاد () ، يُعرف باسم السبينور.

تحل معادلة ديراك مشكلة الطاقة السلبية التي قدمتها معادلة كلاين-جوردون ، ولكن لا يزال هناك حل للطاقة السلبية ؛ أي ، جسيمات لها خصائص مشابهة لتلك الموجودة في المحلول الآخر ولكن بشحنة معاكسة ، أطلق ديراك على هذه الجسيمات المضادة. علاوة على ذلك ، مع معادلة ديراك ، يتضح أن الدوران هو نتيجة لتطبيق الخصائص النسبية على العالم الكمي.