ما هو التسلسل الهرمي للعمليات؟

التسلسل الهرمي للعمليات هو اصطلاح رياضي يحدد الترتيب الذي يجب تنفيذ إجراءات الحساب المجمعة به نفس البيان الرياضي ، أي عندما يكون هناك بيان رياضي حيث توجد عمليات رياضية (إضافة ، طرح ، الضرب والقسمة والقوى والجذور) مجتمعة ، يجب أن يتم ذلك بترتيب معين للوصول إلى نتيجة شائع.

لكن لماذا هناك حاجة إلى التسلسل الهرمي؟ للإجابة عليها ، علينا أولاً أن نفهم جيدًا طبيعة العمليات الحسابية ، والتي تتكون من تحويل يتم تطبيقه على عناصر المجموعة. دعونا نفكر ، على سبيل المثال ، في مجموعة الأعداد الحقيقية ، أي تلك الأرقام التي نعرفها جميعًا. إذا أخذنا رقم أ وأضفناه برقم آخر ب ، فسنحصل على رقم آخر ج ينتمي إلى نفس مجموعة الأرقام الحقيقية ، أي:

أ + ب = ج

بالإضافة إلى ذلك ، فإن الترتيب الذي يتم تقديم الإضافات به لا يؤثر على النتيجة النهائية ، أي أن أ + ب = ب + أ، تسمى هذه الخاصية التبادلية. من المهم الحديث عن الإضافة لأنها العملية الأساسية التي تشتق منها جميع العمليات الأخرى. الضرب ليس أكثر من سلسلة من عمليات الجمع المتكررة. إذا كان لدينا رقم a مرة أخرى وضربناه في رقم b ، فإن ما نفعله أحيانًا هو إضافة الرقم b مع نفسه ، أو ، بدلاً من ذلك ، إضافة b مضروبًا في الرقم a مع نفسه. هذا الأخير هو كذلك لأن الضرب هو تبادلي مثل الجمع ، وهذا يعني أن:

a⋅b = b⋅a. يمكن التعبير عن ما سبق على النحو التالي:

يمكننا بسهولة تصور هذا بمثال. لنقم بضرب 5 × 2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

الآن ، ماذا لو اضطررنا إلى إجراء عملية حيث قمنا بدمج الجمع مع الضرب؟ على سبيل المثال: a⋅b + c. ما هو الترتيب الذي يجب أن يتم به الجمع والضرب؟ ما هي العملية التي يجب أن نفضلها؟ إذا أجرينا عملية الضرب أولاً وقمنا بتطويرها كمجموع ، فسيكون لدينا:

الآن ، إذا أجرينا عملية الجمع أولاً ثم الضرب ، فسنحصل على:

نظرًا لأن الإضافة تبادلية ، يمكننا إعادة تجميع الجانب الأيمن من المعادلة للحصول على:

بمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها في كلتا الحالتين ، من السهل إدراك ما يلي:

نستنتج إذن أن الترتيب الذي تقرر تنفيذ العمليات به يؤثر على النتيجة التي تم الحصول عليها. يحدث الشيء نفسه عندما نشارك القوى. عندما نرفع عددًا من b إلى a قوة c ، فإن ما نفعله هو ضرب c في الرقم b في نفسه ، أي:

ننتقل الآن إلى إجراء العملية المجمعة التالية التي تتضمن الضرب والقوة a⋅b^ج بترتيب مختلف كما فعلنا في الحالة السابقة. إذا أعطينا الأولوية للسلطة أولاً ، فلدينا:

الآن ، إذا أجرينا عملية الضرب أولاً ثم القوة ، فسيكون لدينا:

من خلال الاستفادة من تبادلية الضرب ، يمكننا إعادة تجميع الجانب الأيمن من المعادلة على النحو التالي:

مرة أخرى ، يمكننا مقارنة النتائج التي تم الحصول عليها من خلال إجراء العمليات بترتيب مختلف لإدراك ما يلي:

أيضًا في هذه الحالة يؤثر الترتيب الذي يتم تنفيذ العمليات به على النتيجة التي تم الحصول عليها. إذن ، ما هو الترتيب الذي يجب تنفيذ العمليات به؟ يحدد التسلسل الهرمي للعمليات أن القوى في مستوى أعلى من التسلسل الهرمي من الضرب ، بحيث يكون للقوى الأسبقية في بيان رياضي. في المقابل ، يكون للمضاعفات مستوى هرمي أعلى من الإضافات.

لكن ماذا عن الطرح والقسمة والجذور؟ الطرح هو العملية المعاكسة للجمع ، عندما نطرح رقم ب من رقم أ نحصل على رقم آخر ج مثل أن ج + ب = أ. يحدث شيء مشابه مع القسمة والطرح. إذا قسمنا رقمًا أ على رقم ب وحصلنا على رقم ج نتيجة لذلك ، فقد وجدنا رقمًا مثل b⋅c = a. وأخيرًا ، بحساب جذر ب لعدد أ ، نجد عددًا ج مثل ج^ب= أ. تضع هذه المعادلات الطرح والقسمة والجذر على نفس مستوى التسلسل الهرمي مثل الجمع والضرب والقوة ، على التوالي.

ممارسات الأقواس والأقواس

الآن ، ماذا يحدث إذا أردنا إعطاء الأولوية لبعض العمليات في بيان رياضي بغض النظر عن مستوى التسلسل الهرمي؟ للقيام بذلك ، يتم استخدام الأقواس والأقواس المربعة. افترض أن لدينا بيان المبدأ a⋅b + c. مع ما قلناه من قبل ، نعلم بالفعل أنه يتعين علينا إجراء الضرب أولاً ثم الجمع. لكن ماذا لو أردنا ألا يكون الأمر كذلك؟ للقيام بذلك ، يتعين علينا استخدام الأقواس أو الأقواس المربعة لفصل الجمع عن الضرب ومن ثم إعطاء الأولوية لحساب الجمع أولاً ، أي: أ⋅ (ب + ج). يؤدي هذا إلى إعطاء العبارات المفصولة بأقواس وأقواس مربعة الأولوية القصوى على جميع العمليات الأخرى.

مع كل ما قيل أعلاه ، فإن التسلسل الهرمي للعمليات ، أو الترتيب الذي يجب تنفيذها به ، هو كما يلي:

1) الأقواس والأقواس
2) القوى والجذور
3) الضرب والقسمة
4) الجمع والطرح

مراجع

ح. بهنك ، ف. باكمان ، ك. فلات ، و. سوس ، هـ. جيريك ، ف. هوهنبرج ، ج. بيكيرت ، هـ. Rau & S. ح. جولد. (1983). أساسيات الرياضيات: المجلد الأول. كامبريدج وماساتشوستس ولندن: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.