تعريف الوظيفة التربيعية

دالة تربيعية لمتغير حقيقي يتم التعبير عن شكله.

\ (f \ left (x \ right) = أ {x ^ 2} + bx + c \)

حيث يكون المتغير \ (x \) و \ (a، b \) و c ثوابت حقيقية تسمى معاملات الدالة التربيعية مع \ (a \ ne 0. \)

يقدم الجدول أمثلة عامة للوظائف التربيعية والوضع الذي يمكنهم نمذجه ، لتوضيح تطبيقهم المباشر لاحقًا من المشكلات الحقيقية.

وظيفة من الدرجة الثانية	موقف يمكنك نمذجة
\ (و \ يسار (س \ يمين) = {س ^ 2} \)	المتغير \ (y \) هو مساحة المربع الذي يقيس جانبه \ (س \).
\ (f \ left (x \ right) = \ pi {x ^ 2} \)	المتغير \ (y \) هو مساحة الدائرة التي نصف قطرها \ (x \).
\ (f \ left (x \ right) = 100 - 4.9 {x ^ 2} \)	المتغير \ (ص \) هو ارتفاع كائن تم إسقاطه على ارتفاع 100 و \ (س \) هو الوقت المنقضي.
\ (f \ left (x \ right) = 60 \ left ({{\ bf {sin}} 45 ^ \ circ} \ right) x - 4.9 {x ^ 2} \)	المتغير \ (ص \) هو ارتفاع قذيفة مدفعية تم إلقاؤها بزاوية 45 درجة بسرعة 60 م / ث و \ (س \) هو الوقت المنقضي.

الصيغة العامة والدالة التربيعية

إذا كانت الدالة التربيعية لـ \ (x = \ alpha \) هي صفر ، فإن الرقم \ (\ alpha \) يسمى جذر الوظيفة التربيعية ، نعم ، \ (\ alpha \) هو حل المعادلة التربيعية

\ (أ {س ^ 2} + ب س + ج = 0 \)

الصيغة العامة لحل المعادلات التربيعية التي لدينا أن جذور الدالة التربيعية هي:

\ (\ alpha = \ frac {{- b + \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}، \؛ \؛ \ beta = \ frac {{- b - \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}} \)

مما سبق ، تم تأسيس العلاقة التالية بين الجذور ومعاملات الدالة التربيعية:

\ (\ alpha + \ beta = - \ frac {b} {a}، \؛ \؛ \ alpha \ beta = \ frac {c} {a} \)

من خلال المنتجات البارزة ، يتم إنشاء الهوية التالية:

\ (a {x ^ 2} + bx + c = a \ left ({x - \ alpha} \ right) \ left ({x - \ beta} \ right) \)

بطريقة مماثلة لتلك المحددة في الصيغة العامة ، ثبت أنه يمكن التعبير عن الوظيفة التربيعية في الشكل:

\ (f \ left (x \ right) = a {\ left ({x - h} \ right) ^ 2} + k \)

مع \ (h = - \ frac {b} {{2a}} \) و \ (k = - \ frac {{{b ^ 2} - 4ac}} {a} \)

بحل المعادلة:

\ (أ {\ يسار ({س - ح} \ يمين) ^ 2} + ك = 0 \)

تم الحصول عليها:

\ (\ left | {x - h} \ right | = \ sqrt {- \ frac {k} {a}} \)

\ (x = h \ pm \ sqrt {- \ frac {k} {a}} \)

مما سبق يمكن استنتاج أن \ (f \ left (x \ right) = a {\ left ({x - h} \ right) ^ 2} + k \) ، فقط إذا كانت الثوابت \ (k \) و \ (أ \) من العلامات المعاكسة ، هذه الدالة التربيعية لها جذور حقيقية ، وهي: \ (h + \ sqrt {- \ frac {k} {a}}، \؛ \؛ h - \ sqrt {- \ frac {k} {a}} \).

إذا كان للثوابت \ (ك \) و \ (أ \) نفس العلامة ، فإن الدالة التربيعية ليس لها جذور حقيقية.

عندما \ (ك = 0 ، \ ؛ \ ؛ \) يكون للوظيفة التربيعية جذر واحد فقط.

تنطبق الأمثلة على الحياة الواقعية

مثال تطبيقي 1: الاقتصاد

تريد مدرسة تنظيم بطولة كرة قدم حيث يلعب كل فريق كل فريق مرة واحدة فقط. هناك ميزانية قدرها 15600 دولار لتكلفة التحكيم ، إذا كانت تكلفة التحكيم 200 دولار لكل لعبة. كم عدد الفرق التي يمكنها التسجيل في البطولة؟

بيان المشكلة: يجب أن نجد وظيفة تحسب عدد المطابقات عندما يكون لدينا \ (n \) لحسابهم ، سوف نفترض أن الفريق الأول يلعب أولاً مع جميع الآخرين ، أي \ (n - 1 \) اعواد الكبريت. سيلعب الفريق 2 الآن بكل البقية ، أي مع \ (n - 2 \) ، حيث أنهم سيلعبون بالفعل مع الفريق 1. سيكون الفريق 3 قد لعب بالفعل مع الفريقين 1 و 2 ، لذلك سيتعين عليهم اللعب مع فرق n-3.

مع المنطق أعلاه نصل إلى:

\ (f \ يسار (n \ يمين) = n - 1 + n - 2 + \ ldots + 2 + 1 \)

\ (f \ left (n \ right) = \ frac {{n \ left ({n - 1} \ right)}} {2} \)

وظيفة التكلفة هي:

\ (C \ left (n \ right) = 200f \ left (n \ right) = 100n \ left ({n - 1} \ right) \)

بميزانية قدرها 15600 دولار ، لدينا المعادلة:

\ (100 ن \ يسار ({n - 1} \ يمين) = 15600 \)

حل المعادلة

\ (100n \ left ({n - 1} \ right) = 15600 \) الوضع الأولي
\ (n \ left ({n - 1} \ right) = 156 \) قسّم كل جانب من جوانب المعادلة على 100
\ ({n ^ 2} - n - 156 = \) أضف \ (- 156 \) إلى كل جانب من جوانب المعادلة
\ (\ left ({n - 13} \ right) \ left ({n + 12} \ right) = 0 \) لدينا \ (\ left ({- 13} \ right) \ left ({12} \ right ) = - 156 \) و \ (- 13 + 12 = - 1 \)
تم أخذها في الاعتبار.
حلول المعادلة \ (n = - 12، \؛ 13 \)
الإجابة: الميزانية كافية لتسجيل 13 فريقًا.

مثال التطبيق 2: الاقتصاد

لاحظت شركة حافلات نقل حضرية أنه في غضون ثماني ساعات في اليوم ، تنقل كل حافلة ما معدله ألف راكب. لكي تكون في وضع يسمح لك بمنح العاملين لديك علاوة ، ستحتاج إلى زيادة أجرة السفر ، والتي تبلغ حاليًا 5 دولارات ؛ يحسب أحد الاقتصاديين أنه مقابل كل بيزو تزيد الأجرة ، ستفقد كل شاحنة ما معدله 40 راكبًا كل يوم. وقد حسبت الشركة أنه لتغطية زيادة الراتب يجب أن تحصل على 760 دولاراً إضافياً لكل شاحنة كل يوم ، ما هو مقدار الزيادة في الأجرة؟

بيان المشكلة: لنفترض أن \ (x \) هو مقدار البيزو الذي سترتفع فيه التذكرة ، والتي تمثل \ (5 + x \) التكلفة الجديدة للتذكرة. وبنفس هذه الزيادة ، ستنقل كل شاحنة \ (1000-40x \) راكبًا يوميًا في المتوسط.

أخيرًا ، العائد لكل شاحنة هو:

\ (I \ left (x \ right) = \ left ({5 + x} \ right) \ left ({1000 - 40x} \ right) = - 40 \ left ({x + 5} \ right) \ left ( {x - 25} \ right) \)

من أجل تغطية زيادة الراتب ، يجب على كل حافلة أن تجمع: \ (1000 \ يسار (5 \ يمين) + 760 = 5760 \)

أخيرًا لدينا المعادلة:

\ (- 40 \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x - 25} \ right) = 5760 \)

حل المعادلة
\ (- 40 \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x - 25} \ right) = 5760 \) الوضع الأولي
\ (\ left ({x + 5} \ right) \ left ({x - 25} \ right) = - 144 \) قسّم على \ (- 40 \) كل جانب من جوانب المعادلة
\ ({n ^ 2} - 20n - 125 = - 144 \) تم تطوير المنتج الرائع
\ ({n ^ 2} - 20n + 19 = 0 \) تمت إضافة 144 لكل منها
\ (\ left ({n - 19} \ right) \ left ({n - 1} \ right) = 0 \) لدينا \ (\ left ({- 19} \ right) \ left ({- 1} \ يمين) = 19 \) و \ (- 19-1 = - 20 \)
محللة
حلول المعادلة \ (n = 1.19 \)
الإجابة: يمكن أن يرتفع سعر التذكرة دولارًا واحدًا أو 19 دولارًا بيزو.

مثال تطبيقي 3: علم الاقتصاد

يبيع متجر الخبز ما معدله 1200 لفة أسبوعيًا مقابل 6 دولارات لكل منها. في أحد الأيام قرر رفع السعر إلى 9 دولارات للقطعة الواحدة ؛ الآن انخفضت مبيعاتها: تبيع فقط ما متوسطه 750 لفة في الأسبوع. ماذا يجب أن يكون سعر كل كعكة حتى يكون عائد المنفذ أعلى ما يمكن؟ افترض أن هناك علاقة خطية بين الطلب والسعر.

بيان المشكلة: بافتراض وجود علاقة خطية بين الطلب D والسعر \ (x، \) إذن

\ (د = م س + ب \)

عندما \ (س = 6 ؛ د = 1200 ؛ \ ؛ \) الذي يولد المعادلة:

\ (1200 = 6 م + ب)

عندما \ (س = 9 ؛ د = 750 ؛ \ ؛ \) لو ويتم الحصول على المعادلة:

\ (750 = 9 م + ب)

حل نظام المعادلات العلاقة بين الطلب والسعر هي:

\ (D = - 150x + 2100 = - 150 \ يسار ({x - 14} \ يمين) \)

الدخل يساوي

\ (I \ left (x \ right) = Dx = - 150x \ left ({x - 14} \ right) \)

حل

الرسم البياني للدخل في القطع المكافئ الذي يفتح لأسفل ويتم الوصول إلى قيمته القصوى عند قمة الرأس والتي يمكن العثور عليها عن طريق حساب متوسط ​​جذور الدالة التربيعية التي تمثل دخل. الجذور هي \ (\ alpha = 0، \؛ \؛ \ beta = 14 \).

\ (ح = \ فارك {{0 + 14}} {2} = 7 \)

\ (I \ left (h \ right) = - 150 \ left (7 \ right) \ left ({7-14} \ right) = 7350 \)

إجابة

الحد الأقصى للإيرادات هو 7350 دولارًا أمريكيًا ويتم تحقيقه بسعر 7 دولارات أمريكية ؛ بيع ، في المتوسط ​​، 1050 لفات في الأسبوع.

مثال تطبيقي 4: علم الاقتصاد

يمكن حساب تكلفة تصنيع \ (n \) الكراسي في يوم واحد بالوظيفة التربيعية:

\ (ج \ يسار (n \ يمين) = {n ^ 2} - 200 ن + 13000 \)

تحديد التكلفة الدنيا التي يمكن تحقيقها.

عرض المشكلة

الرسم البياني \ (C \ left (n \ right) \) هو قطع مكافئ يفتح لأعلى ويصل إلى أدنى نقطة له عند \ (h = - \ frac {b} {{2a}} = - \ frac {{\ يسار ({- 200} \ right)}} {{2 \ left (1 \ right)}} = 100 \)

\ (C \ left ({100} \ right) = {\ left ({100} \ right) ^ 2} - 200 \ left ({100} \ right) + 13000 = 3000 \)

إجابة

أقل تكلفة ممكنة تساوي 3000 دولار ويتم تحقيقها عن طريق تصنيع 100 كرسي.

مثال تطبيقي 5: الهندسة

تبلغ مساحة المعين 21 سم 2 ؛ إذا كان مجموع أطوال أقطارها 17 سم ، فما طول كل قطري من المعين؟

بيان المشكلة: يتم حساب مساحة المعين باستخدام:

\ (A = \ frac {{Dd}} {2} \)

مع \ (D \) و \ (د \) أطوال أقطارها ، يُعرف أيضًا:

\ (د + د = 7 \)

\ (د = 17 - د \)

عن طريق الاستبدال تحصل على:

\ (A = \ frac {{\ left ({17 - d} \ right) d}} {2} \)

أخيرًا نحصل على المعادلة

\ (\ frac {{\ left ({17 - d} \ right) d}} {2} = 21 \)

حل
\ (\ frac {{\ left ({17 - d} \ right) d}} {2} = 21 \) الموقف الأولي
\ (\ left ({17 - d} \ right) d = 42 \) اضرب ب \ (- 40 \) كل جانب من جوانب المعادلة
\ ({d ^ 2} - 17d + 42 = 0 \) تم تطوير المنتج.
\ (\ left ({d - 14} \ right) \ left ({d - 3} \ right) = 0 \) لدينا \ (\ left ({- 14} \ right) \ left ({- 3} \ يمين) = 42 \) و \ (- 14 - 3 = - 17 \)
محللة
حلول المعادلة \ (د = 3.14 \)
إجابة:

قياس قطري المعين 14 سم و 3 سم.

مثال تطبيقي 6: الهندسة

من المرغوب فيه بناء حظيرة دجاج مستطيلة بمساحة 140 مترًا مربعًا ، مع الاستفادة من السياج الطويل نسبيًا الذي سيشكل قاع حظيرة الدجاج. سيتم بناء الجوانب الثلاثة الأخرى بـ 34 مترًا طوليًا من شبكة سلكية ، فما مقدار طول وعرض قن الدجاج لاستخدام الشبكة الكلية؟

في ظل نفس الظروف ، ما هي أقصى مساحة يمكن تسييجها بنفس الشبكة؟

بيان المشكلة: وفقًا للرسم التخطيطي ، فإن المساحة تساوي:

\ (A \ left (x \ right) = x \ left ({34 - 2x} \ right) = 2x \ left ({17 - x} \ right) \)

حيث \ (س \) هو طول الضلع العمودي على السياج.

لمعرفة قياسات المستطيل بحيث تبلغ مساحته 140 م 2 يكفي حل المعادلة

\ (2 س \ يسار ({17 - س} \ يمين) = 140 \)

نظرًا لأن الرسم البياني \ (A \ left (x \ right) \) هو قطع مكافئ يفتح لأسفل لحساب القيمة القصوى للمساحة ، فإنه يكفي لحساب قمة القطع المكافئ.

الإجابات
مقاييس المستطيل بمساحة 140 م 2
طول الضلع العمودي على السياج

\ (س \) طول الضلع الموازي للسياج

\ (34 - 2x \)
10 14
7 20

أول إحداثي للرأس هو \ (h = \ frac {{17}} {2} \) و

\ (A \ left (h \ right) = \ frac {{289}} {2} \)

تكون المساحة القصوى عندما يقيس الجانب العمودي \ (\ frac {{17}} {2} \؛ \) م والجانب الموازي 17 م ، ويقيس 17 م ، وتكون قيمة أقصى مساحة يتم الوصول إليها \ (\ frac { {289}} {2} \) متر مربع.

رسم بياني لوظيفة تربيعية

من وجهة نظر هندسية ، الجذور هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني للدالة مع محور \ (س \).

من التعبير

\ (f \ left (x \ right) = a {\ left ({x - h} \ right) ^ 2} + k ، \)

سننشئ الشكل العام للرسم البياني للدالة التربيعية.

الحالة الأولى \ (أ> 0 \) و \ (ك> 0 \)

\ (f \ left (x \ right) = a {\ left ({x - h} \ right) ^ 2} + k \)

\ (س \)	\ (و \ يسار (س \ يمين) \)
\ (ح - 1 \)	\ (أ + ك \)
\ (ح - 2 \)	\ (4 أ + ك \)
\ (ح - 3 \)	\ (9 أ + ك \)
\ (ح - 4 \)	\ (16 أ + ك \)
\ (ح \)	\(ك\)
\ (ح + 1 \)	\ (أ + ك \)
\ (ح + 2 \)	\ (4 أ + ك \)
\ (ح + 3 \)	\ (9 أ + ك \)
\ (ح + 4 \)	\ (16 أ + ك \)

في هذه الحالة يرضي الرسم البياني:

متماثل: مع محور التناظر \ (x = h = - \ frac {b} {{2a}}. \) هذا هو \ (f \ left ({h - s} \ right) = f \ left ({h + ق} حق) \)

يقع فوق محور \ (س \) ولا يتقاطع معه. أي أن \ (f \ left (x \ right)> 0 \) ليس له جذور حقيقية.

أدنى نقطة على الرسم البياني عند النقطة \ (\ يسار ({ح ، ك} \ يمين) \). هذا هو \ (f \ left (x \ right) \ ge f \ left (h \ right) = k \)

الحالة الثانية \ (أ <0 \) و \ (ك <0 \)

\ (f \ left (x \ right) = a {\ left ({x - h} \ right) ^ 2} + k \)

\ (س \)	\ (و \ يسار (س \ يمين) \)
\ (ح - 1 \)	\ (أ + ك \)
\ (ح - 2 \)	\ (4 أ + ك \)
\ (ح - 3 \)	\ (9 أ + ك \)
\ (ح - 4 \)	\ (16 أ + ك \)
\ (ح \)	\(ك\)
\ (ح + 1 \)	\ (4 أ + ك \)
\ (ح + 2 \)	\ (9 أ + ك \)
\ (ح + 3 \)	\ (4 أ + ك \)
\ (ح + 4 \)	\ (16 أ + ك \)

في هذه الحالة يرضي الرسم البياني:

متماثل: مع محور التناظر \ (x = h = - \ frac {b} {{2a}}. \) هذا هو \ (f \ left ({h - s} \ right) = f \ left ({h + ق} حق) \)

يقع أسفل المحور \ (س \) ولا يتقاطع معه. أي أن \ (f \ left (x \ right) <0 \) ليس له جذور حقيقية. أعلى نقطة على الرسم البياني عند النقطة \ (\ يسار ({ح ، ك} \ يمين) \). هذا هو \ (f \ left (x \ right) \ le f \ left (h \ right) = k \) الحالة الثالثة \ (a> 0 \) و \ (k \ le 0 \).

هذه الحالة مشابهة للحالة الأولى ، والفرق هو أنه لدينا الآن جذر حقيقي واحد (عندما \ (ك = 0 \)) أو جذران حقيقيان.

في هذه الحالة يرضي الرسم البياني:

متماثل: مع محور التناظر \ (x = h = - \ frac {b} {{2a}}. \) هذا هو \ (f \ left ({h - s} \ right) = f \ left ({h + ق} حق) \)

يتقاطع مع المحور \ (x \) ، أي أنه يحتوي على جذر حقيقي واحد على الأقل.

أدنى نقطة على الرسم البياني عند النقطة \ (\ يسار ({ح ، ك} \ يمين) \). هذا هو \ (f \ left (x \ right) \ ge f \ left (h \ right) = k \)

الحالة الرابعة \ (a <0 \) و \ (k \ ge 0 \). هذه الحالة مشابهة للحالة الثانية ، والفرق هو أنه لدينا الآن جذر حقيقي واحد (عندما \ (ك = 0 \)) أو جذران حقيقيان. في هذه الحالة يرضي الرسم البياني:

متماثل: مع محور التناظر \ (x = h = - \ frac {b} {{2a}}. \) هذا هو \ (f \ left ({h - s} \ right) = f \ left ({h + ق} حق) \)

أدنى نقطة على الرسم البياني عند النقطة \ (\ يسار ({ح ، ك} \ يمين) \). هذا هو \ (f \ left (x \ right) \ le f \ left (h \ right) = k \)

يُطلق على الرسم البياني للدالة التربيعية اسم القطع المكافئ وعناصره التي يجب إبرازها هي محور التناظر ، وهي النقاط التي يتقاطع عندها إلى المحور \ (س \) والرأس ، وهي النقطة على الرسم البياني للدالة حيث تصل إلى أدنى أو أعلى نقطة اعتمادًا على قضية.

بناءً على التحليل الذي تم إجراؤه ، يمكننا القول:

القطع المكافئ المرتبط بالدالة التربيعية \ (f \ left (x \ right) = a {x ^ 2} + bx + c \) له رأسه عند \ (\ left ({h، k} \ right) \) حيث :

\ (h = - \ frac {b} {{2a}}، \؛ \؛ k = f \ left (h \ right) \)

أمثلة

دالة تربيعية \ (y = {x ^ 2} \)	عناصر مهمة
قمة القطع المكافئ	\ (\ يسار ({0،0} \ يمين) \)
محور تناظر القطع المكافئ	\ (س = 0 \)
تقاطع مع محور \ (س \)	\ (\ يسار ({0،0} \ يمين) \)

دالة تربيعية \ (y = - \ frac {1} {2} {\ left ({x - 2} \ right) ^ 2} \)	عناصر مهمة
قمة القطع المكافئ	\ (\ يسار ({2،0} \ يمين) \)
محور تناظر القطع المكافئ	\ (س = 2 \)
تقاطع مع محور \ (س \)	\ (\ يسار ({2،0} \ يمين) \)

دالة تربيعية \ (y = {\ left ({x + 2} \ right) ^ 2} - 4 \)	عناصر مهمة
قمة القطع المكافئ	\ (\ يسار ({- 2 ، - 4} \ يمين) \)
محور تناظر القطع المكافئ	\ (س = - 2 \)
تقاطع مع محور \ (س \)	\ (\ left ({- 4،0} \ right)؛ \ left ({0،0} \ right) \)

دالة تربيعية \ (y = - \ frac {1} {2} {\ left ({x - 9} \ right) ^ 2} + 8 \)	عناصر مهمة
قمة القطع المكافئ	\ (\ يسار ({9،8} \ يمين) \)
محور تناظر القطع المكافئ	\ (س = 9 \)
تقاطع مع محور \ (س \)	\ (\ left ({5،0} \ right)؛ \ left ({13،0} \ right) \)

دالة تربيعية \ (y = {x ^ 2} + 1 \)	عناصر مهمة
قمة القطع المكافئ	\ (\ يسار ({0،1} \ يمين) \)
محور تناظر القطع المكافئ	\ (س = 0 \)
تقاطع مع محور \ (س \)	ليس عنده

دالة تربيعية \ (y = - \ frac {1} {2} {\ left ({x - 2} \ right) ^ 2} - 1 \)	عناصر مهمة
قمة القطع المكافئ	\ (\ يسار ({2 ، - 1} \ يمين) \)
محور تناظر القطع المكافئ	\ (س = 2 \)
تقاطع مع محور \ (س \)	ليس عنده

إذا كانت الجذور الحقيقية للدالة التربيعية موجودة ، فيمكننا رسم القطع المكافئ المرتبط بها منها. افترض أن \ (f \ left (x \ right) = a \ left ({x - \ alpha} \ right) \ left ({x - \ beta} \ right) \)

لهذا ، يجب مراعاة ما يلي:

\ (\ alpha + \ beta = - \ frac {b} {a} \)

\ (\ frac {{\ alpha + \ beta}} {2} = - \ frac {b} {{2a}} = h \)

كيف

\ (ك = و \ يسار (ح \ يمين) \)

\ (k = f \ left ({\ frac {{\ alpha + \ beta}} {2}} \ right) \)

\ (k = a \ left ({\ frac {{\ alpha + \ beta}} {2} - \ alpha} \ right) \ left ({\ frac {{\ alpha + \ beta}} {2} - \ beta} \ right) \)

\ (k = - \ frac {a} {4} {\ left ({\ alpha - \ beta} \ right) ^ 2} \)

أمثلة

ارسم الرسم البياني للدالة التربيعية \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} \ left ({x - 3} \ right) \ left ({x + 6} \ right) \)

حل

الجذور هي \ (\ alpha = 3 \ ؛ \) و \ (\ beta = - 6 \) ؛ ثم \ (h = \ frac {{3 - 6}} {2} = - \ frac {3} {2} \).

\ (k = f \ left ({- \ frac {3} {2}} \ right) = 2 \ left ({- \ frac {3} {2} - 3} \ right) \ left ({- \ frac {3} {2} + 6} \ right) = \ frac {1} {4} \ left ({- \ frac {9} {2}} \ right) \ left ({\ frac {9} {2}} \ right) = - \ frac {{81}} {{16}} \)

حتى نتمكن من بناء الجدول التالي

\ (f \ left (x \ right) = 2 \ left ({x - 3} \ right) \ left ({x + 6} \ right) \)	عناصر مهمة
قمة القطع المكافئ	\ (\ left ({- \ frac {3} {2}، - \ frac {{81}} {2}} \ right) \)
محور تناظر القطع المكافئ	\ (س = - \ فارك {{81}} {2} \)
تقاطع مع محور \ (س \)	\ (\ left ({- 6،0} \ right) \؛، \؛ \ left ({3،0} \ right) \)

لرسم الرسم البياني للدالة:

\ (f \ left (x \ right) = 3 {x ^ 2} - 18x + 4 \)

سوف نستخدم نفس الأفكار التي استخدمناها بالفعل ؛ لهذا سنحدد الرأس أولاً.

في هذه الحالة \ (أ = 3 ؛ ب = - 12 ، \ ؛ ج = 4 \).

منذ \ (a> 0 \) ، سيتم فتح القطع المكافئ و \ (h = - \ frac {b} {{2a}} = - \ left ({\ frac {{- 18}} {{3 \ left (2 \ right)}}} \ right) = 3. \) بعد ذلك سنحسب \ (k: \)

\ (ك = و \ يسار (س \ يمين) = و \ يسار (3 \ يمين) = 3 {\ يسار (3 \ يمين) ^ 2} - 18 \ يسار (3 \ يمين) + 4 = - 23 \)

يقع رأس القطع المكافئ عند \ (\ يسار ({3 ، - 23} \ يمين) \) وبما أنه ينفتح لأعلى ، فإن القطع المكافئ سوف يتقاطع مع محور \ (س \ ؛ \) ومحور تناظره هو \ (س = 3 \).

الآن دعونا نفكر في الدالة التربيعية

\ (f \ left (x \ right) = - 5 {x ^ 2} + 10x - 9 \)

في هذه الحالة \ (أ = 3 ؛ ب = - 12 ، \ ؛ ج = 4 \).

منذ \ (a <0 \) ، فإن القطع المكافئ سوف "يفتح" لأسفل و \ (h = - \ frac {b} {{2a}} = - \ left ({\ frac {{10}} {{\ left ( 2 \ يمين) \ يسار ({- 5} \ يمين)}}} \ يمين) = 1. \) أ بعد ذلك سنحسب \ (k: \) \ (k = f \ left (h \ right) = f \ left (1 \ right) = - 5 {\ left (1 \ right) ^ 2} + 10 \ left ( 1 \ right) - 9 = - 4 \) رأس يقع القطع المكافئ عند \ (\ left ({1، - 4} \ right) \) وبما أنه يفتح لأسفل ، فلن يتقاطع القطع المكافئ مع \ (x \ ؛ \) ومحور التناظر هو \ (x = 1.\)