تعريف التقدم الهندسي

تسلسل من الأرقام \ ({{a} _ {1}} ، ~ {{a} _ {2}} ، {{a} _ {3}} ، \ ldots \) ​​؛ يُطلق عليه التقدم الهندسي إذا تم الحصول على كل عنصر ، بدءًا من العنصر الثاني ، من مضاعفة العنصر السابق برقم \ (r \ ne 0 \) ، أي إذا:
\ ({{a} _ {n + 1}} = {{a} _ {n}} r \)
أين:
- الرقم \ (r \) يسمى نسبة التقدم الهندسي.
- يسمى العنصر \ ({{a} _ {1}} \) بالعنصر الأول للتقدم الحسابي.

يمكن التعبير عن عناصر التقدم الهندسي من حيث العنصر الأول ونسبته ، أي:
\ ({{a} _ {1}} ، {{a} _ {1}} r ، {{a} _ {1}} {{r} ^ {2}} ، {{a} _ {1} } {{r} ^ {3}} \)

هم العناصر الأربعة الأولى للتقدم الحسابي ؛ بشكل عام ، يتم التعبير عن العنصر \ (ك - \) على النحو التالي:
\ ({{a} _ {k}} = {{a} _ {1}} {{r} ^ {k-1}} \)

عندما \ ({{a} _ {1}} \ ne 0، ~ \) من التعبير السابق نحصل على:

\ (\ frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {l}}} = \ frac {{{a} _ {1}} {{r} ^ {k-1}} } {{{a} _ {1}} {{r} ^ {l-1}}} \)

\ (\ frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {l}}} = {{r} ^ {k-l}} \)

التعبير أعلاه يعادل:

\ ({{a} _ {k}} = {{a} _ {l}} {{r} ^ {k-l}} \)

مثال / تمرين 1. أوجد فرق التقدم الحسابي: \ (2،6،18،54، \ ldots \) ​​وابحث عن العناصر \ ({{a} _ {20}}، ~ {{a} _ {91}} \)

حل

بما أن \ (\ frac {6} {2} = \ frac {18} {6} = \ frac {54} {18} = 3 \) يمكننا أن نستنتج أن النسبة هي:

\ (ص = 3 \)

\ ({{a} _ {20}} = 2 \ left ({{3} ^ {20-1}} \ right) = 2 {{\ left (3 \ right)} ^ {19}} \)

\ ({{a} _ {91}} = 2 \ left ({{3} ^ {91-1}} \ right) = 2 {{\ left (3 \ right)} ^ {90}} \)

مثال / تمرين 2. في التقدم الحسابي لدينا: \ ({{a} _ {17}} = 20 ~ \) y \ ({{a} _ {20}} = - 1280 \) ، حدد نسبة التقدم الهندسي واكتب أول 5 عناصر.

حل

يلبس

\ (\ frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {l}}} = {{r} ^ {k-l}} \)

\ (\ frac {{{y} _ {20}}} {{{y} _ {17}}} = {{r} ^ {20-17}} \)

\ (\ frac {-1280} {20} = {{r} ^ {3}} \)

\ (- 64 = {{r} ^ {3}} \)

\ (\ sqrt [3] {- 64} = \ sqrt [3] {{{r} ^ {3}}} \)

\ (- 4 = r \)

لإيجاد العناصر الخمسة الأولى للتقدم الحسابي ؛ سنحسب \ ({{a} _ {1}} \):

\ ({{a} _ {k}} = {{a} _ {1}} {{r} ^ {k-1}} \)

\ ({{a} _ {17}} = {{a} _ {1}} {{\ left (r \ right)} ^ {17-1}} \)

\ (20 = {{a} _ {1}} {{\ left (-4 \ right)} ^ {16}} \)

\ (\ frac {20} {{{4} ^ {16}}} = {{a} _ {1}} \)

\ (\ frac {5 \ left (4 \ right)} {{{4} ^ {16}}} = {{a} _ {1}} \)

\ (\ frac {5} {{{4} ^ {15}}} = {{a} _ {1}} \)

العناصر الخمسة الأولى للتقدم الهندسي هي:

\ (\ frac {5} {{{4} ^ {15}}} ، ~ \ frac {5} {{{4} ^ {15}}} \ left (-4 \ right) ، \ frac {5} {{{4} ^ {15}}} {{\ يسار (-4 \ right)} ^ {2}} ، \ frac {5} {{{4} ^ {15}}} {{\ left (-4 \ right)} ^ {3}} ، \ frac {5} {{ {4} ^ {15}}} {{\ يسار (-4 \ حق)} ^ {4}} \)

\ (\ frac {5} {{{4} ^ {15}}} ، - ~ \ frac {5} {{{4} ^ {14}}} ، \ frac {5} {{4} ^ { 13}}} ، - \ frac {5} {{{4} ^ {12}}} ، \ frac {5} {{4} ^ {11}}} \)

مثال / تمرين 3. الزجاج الرقيق يمتص 2٪ من ضوء الشمس الذي يمر عبره.

ل. ما هي نسبة الضوء التي ستمر خلال 10 من تلك الأكواب الرقيقة؟

ب. ما هي نسبة الضوء التي ستمر عبر 20 من تلك الزجاجات الرقيقة؟

ج. حدد النسبة المئوية للضوء الذي يمر عبر \ (n \) زجاج رفيع بنفس الخصائص ، موضوعة على التوالي.

حل

سوف نمثل بـ 1 الضوء الكلي ؛ من خلال امتصاص 2٪ من الضوء ، يمر 98٪ من الضوء عبر الزجاج.

سوف نمثل مع \ ({{a} _ {n}} \) النسبة المئوية للضوء الذي يمر عبر الزجاج \ (n \).

\ ({{a} _ {1}} = 0.98 ، ~ {{a} _ {2}} = 0.98 \ left (0.98 \ right) ، ~ {{a} _ {3}} = {{\ left ( 0.98 \ right)} ^ {2}} \ left (0.98 \ right) ، \)

بشكل عام \ ({{a} _ {n}} = {{\ left (0.98 \ right)} ^ {n}} \)

ل. \ ({{a} _ {10}} = {{\ left (0.98 \ right)} ^ {10}} = 0.81707 \) ؛ وهو ما يخبرنا أنه بعد الزجاج 10 يمر 81.707٪ من الضوء

ب. \ ({{a} _ {20}} = {{\ left (0.98 \ right)} ^ {20}} = ~ 0.66761 \) ؛ الذي يخبرنا أنه بعد الزجاج 20 يمر 66.761٪

مجموع العناصر \ (n \) الأولى للتقدم الهندسي

بالنظر إلى التقدم الهندسي \ ({{a} _ {1}} ، {{a} _ {1}} r ، {{a} _ {1}} {{r} ^ {2}} ، {{a} 1}} {{r} ^ {3}} \)….

عندما \ (r \ ne 1 \) هو مجموع العناصر \ (n \) الأولى ، المجموع:

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} + {{a} _ {1}} r + {{a} _ {1}} {{r} ^ {2}} + {{a} _ {1}} {{r} ^ {3}} + \ ldots + {{a} _ {1}} {{r} ^ {n-1}} \)

يمكن حسابها باستخدام

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} \ frac {\ left (1 - {{r} ^ {n}} \ right)} {1-r}، ~ r \ n1 \)

مثال / تمرين 4. من المثال 2 احسب \ ({{S} _ {33}} \).

حل

في هذه الحالة \ ({{a} _ {1}} = \ frac {5} {{{4} ^ {15}}} \) و \ (r = -4 \)

تطبيق

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} \ frac {\ left (1 - {{r} ^ {n}} \ right)} {1-r} \)

\ ({{S} _ {22}} = \ frac {5} {{{4} ^ {15}}} \ frac {1 - {{\ left (-4 \ right)} ^ {22}}} {1- \ يسار (-4 \ يمين)} \)

\ ({{S} _ {22}} = \ frac {5} {{{4} ^ {15}}} \ frac {1 - {{\ left (-4 \ right)} ^ {22}}} {5} \)

\ ({{S} _ {22}} = \ frac {1 - {{\ left (4 \ right)} ^ {22}}} {{{4} ^ {15}}} \)

\ ({{S} _ {22}} = \ frac {1} {{{4} ^ {15}}} - \ frac {{{\ left (4 \ right)} ^ {22}}} {{ {4} ^ {15}}} \)

\ ({{S} _ {22}} = \ frac {1} {{{4} ^ {15}}} - {{4} ^ {7}} \)

مثال / تمرين 5. لنفترض أن شخصًا ما قام بتحميل صورة لحيوانه الأليف ومشاركتها مع 3 من أصدقائهم على شبكة اجتماعية عبر الإنترنت ، وفي غضون ساعة واحدة لكل من يشاركهم الصورة مع ثلاثة أشخاص آخرين ثم الأخير ، في ساعة أخرى ، يشارك كل منهم الصورة مع 3 آخرين الناس؛ وغني عن ذلك؛ كل شخص يتلقى الصورة يشاركها مع 3 أشخاص آخرين في غضون ساعة. في 15 ساعة ، كم عدد الأشخاص الذين لديهم الصورة بالفعل؟

حل

يوضح الجدول التالي الحسابات الأولى
الوقت الأشخاص الذين يتلقون الصورة الأشخاص الذين لديهم الصورة
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

عدد الأشخاص الذين استلموا الصورة في الساعة \ (n \) يساوي: \ ({{3} ^ {n}} \)

عدد الأشخاص الذين لديهم الصورة بالفعل في الساعة يساوي:

\ (3 + {{3} ^ {2}} + {{3} ^ {3}} + \ ldots + {{3} ^ {n}} \)

تطبيق

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} \ frac {\ left (1 - {{r} ^ {n}} \ right)} {1-r} \)

مع \ ({{a} _ {1}} = 3 ، \) \ (r = 3 \) و \ (n = 15 \)

بواسطة:

\ ({{S} _ {n}} = \ frac {\ left (1 - {{3} ^ {15}} \ right)} {1-3} = 7174453 \)

الوسائل الهندسية

إعطاء رقمين \ (a ~ \) و \ (b، \) الأرقام \ ({{a} _ {2}} ، {{a} _ {3}} ، \ ldots ، {{a} _ {k +1}} \) تسمى \ (ك \) الوسائل الهندسية للأرقام \ (أ ~ \) و \ (ب \) ؛ إذا كان التسلسل \ (a، {{a} _ {2}}، {{a} _ {3}}، \ ldots، {{a} _ {k + 1}}، b \) تقدمًا هندسيًا.

لمعرفة قيم \ (ك \) الوسائل الهندسية للأرقام \ (أ ~ \) و \ (ب \) يكفي معرفة نسبة التقدم الحسابي ، لذلك يجب مراعاة ما يلي:

\ (a = {{a} _ {1}} ، {{a} _ {2}} ، {{a} _ {3}} ، \ ldots ، {{a} _ {k + 1}} ، { {أ} _ {ك + 2}} = ب ، \)

مما سبق نؤسس العلاقة:

\ (ب = أ {{r} ^ {ك + 1}} \)

حل من أجل \ (د \) ، نحصل على:

\ (ب = أ {{r} ^ {ك + 1}} \)

\ (\ frac {b} {a} = {{r} ^ {k + 1}} \)

\ (r = \ sqrt [k + 1] {\ frac {b} {a}} \)

مثال / تمرين 6. أوجد وسيلتين هندسيتين بين العددين -15 و 1875.

حل

عند التقديم

\ (r = \ sqrt [k + 1] {\ frac {b} {a}} \)

مع \ (ب = 375 ، ~ أ = -15 \) و \ (ك = 2 ~ \):

\ (r = \ sqrt [2 + 1] {\ frac {1875} {- 15}} \)

\ (r = \ sqrt [3] {- 125} = - 5 \)

الوسائل الهندسية الثلاثة هي:

\(75,-375\)

مثال / تمرين 7. شخص استثمر ماله وحصل على فائدة كل شهر لمدة 6 أشهر وزاد رأس ماله بنسبة 10٪. على افتراض أن السعر لم يتغير ، ما هو سعر الفائدة الشهري؟

حل

اسمحوا \ (C \) أن يكون رأس المال المستثمر ؛ رأس المال النهائي هو \ (1.1C \) ؛ لحل المشكلة ، يجب أن نضع 5 وسائل هندسية ، بتطبيق الصيغة:

\ (r = \ sqrt [k + 1] {\ frac {b} {a}} \)

مع \ (k = 5، ~ b = 1.1C \) و \ (a = C. \)

\ (r = \ sqrt [5 + 1] {\ frac {1.1C} {C}} = \ sqrt [6] {1.1} = 1.016 \)

المعدل الشهري المستلم كان \ (1.6٪ \)