تعريف المعادلة التربيعية / الرباعية

معادلة من الدرجة الثانية أو ، في حالة فشل ذلك ، المعادلة التربيعية ، فيما يتعلق بمجهول ، يتم التعبير عنها بالشكل:
\ (أ {س ^ 2} + ب س + ج = 0 \)
حيث يكون المجهول \ (س \) ، طالما أن \ (أ ، ب \) و ج ثوابت حقيقية ، مع \ (أ \ ني 0. \)

هناك عدة تقنيات لحل المعادلات التربيعية ، بما في ذلك التحليل إلى عوامل ، وفي هذه الحالة يجب أن نأخذ في الاعتبار الخاصية التالية وفقًا للقرار:

إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا ، فهناك احتمالان:

1. كلاهما يساوي الصفر.
2. إذا كان أحدهما غير صفري ، فسيكون الآخر صفرًا

يمكن التعبير عن ما سبق على النحو التالي:
إذا \ (pq = 0 \) ثم \ (p = 0 \) أو \ (q = 0 \).

المثال العملي 1: حل المعادلة \ ({x ^ 2} - 8 \) = 0

\ ({س ^ 2} - 8 = 0 \)	الحالة الأولي
\ ({س ^ 2} - 8 + 8 = 8 \)	أضف 8 إلى طرفي المعادلة لحلها من أجل \ ({x ^ 2} \)
\ (\ sqrt {{x ^ 2}} = \ sqrt {{2 ^ 3}} = \ sqrt {{2 ^ 2} 2} = \ sqrt {{2 ^ 2}} \ sqrt 2 = 2 \ sqrt 2 \)	يتم الحصول على الجذر التربيعي بحثًا عن عزل \ (x. \) يتم تحليل 8 ويتم تطبيق خصائص الجذور والقوى.
\ (\ يسار | س \ يمين | = 2 \ مربع 2 \)	تحصل على جذر \ ({x ^ 2} \)
\ (س = \ م 2 \ مربع 2 \)

حلول \ ​​({x ^ 2} - 8 \) = 0 هي:
\ (س = - 2 \ مربع 2 \ ؛ 2 \ مربع 2 \)

المثال العملي 2: حل المعادلة \ ({x ^ 2} - 144 \) = 0

\ ({س ^ 2} - 144 = 0 \)	الحالة الأولي
\ ({x ^ 2} - {12 ^ 2} = 0 \)	الجذر التربيعي لـ 144 هو 12. تم تحديد اختلاف المربعات.
\ (\ يسار ({س + 12} \ يمين) \ يسار ({س - 12} \ يمين) = 0 \)	تم حساب فرق المربعات
\ (س + 12 = 0 \) \ (س = - 12 \)	نعتبر احتمال أن يكون العامل \ (س + 12 \) مساويًا للصفر. تم حل المعادلة التي تم الحصول عليها.
\ (س - 12 = 0 \) \ (س = 12 \)	نعتبر احتمال أن يكون العامل \ (x - 12 \) مساويًا للصفر. تم حل المعادلة التي تم الحصول عليها.

حلول المعادلة \ ({x ^ 2} - 144 = 0 \) هي

\ (س = - 12 ، \ ؛ 12 \)

مثال عملي 3: حل المعادلة \ ({x ^ 2} + 3x = 0 \)

\ ({س ^ 2} + 3 س = 0 \)	الحالة الأولي
\ (س \ يسار ({س + 3} \ يمين) = 0 \)	يتم تحديد \ (x \) كعامل مشترك ويتم إجراء التحليل إلى عوامل.
\ (س = 0 \)	ضع في اعتبارك احتمال أن العامل \ (x \) يساوي 0.
\ (س + 3 = 0 \) \ (س = - 3 \)	نعتبر احتمال أن يكون العامل \ (x - 12 \) مساويًا للصفر. تم حل المعادلة التي تم الحصول عليها.

حلول المعادلة \ ({x ^ 2} + 3x = 0 \) هي:
\ (س = - 3.0 \)

المثال العملي 4: حل المعادلة \ ({x ^ 2} - 14x + 49 = 0 \)

\ ({x ^ 2} - 14x + 49 = 0 \)	الحالة الأولي
\ ({x ^ 2} - 14x + {7 ^ 2} = 0 \)	الجذر التربيعي لـ 49 هو 7 و \ (2x \ left (7 \ right) = 14x. \) تم تحديد ثلاثي الحدود المربع الكامل.
\ ({\ left ({x - 7} \ right) ^ 2} = 0 \)	يتم التعبير عن ثلاثي الحدود المربع الكامل في صورة مربعة ذات الحدين.
\ (س - 7 = 0 \) \ (س = 7 \)

حل \ ({x ^ 2} - 14x + 49 = 0 \) هو:
\ (س = 7 \)

المثال العملي 5: حل المعادلة \ (10 ​​{x ^ 2} - 23x + 12 = 0 \)

\ (10 ​​{x ^ 2} - 23x + 12 = 0 \)	الحالة الأولي
\ (10 ​​{x ^ 2} - 23x + 12 = 0 \)	المنتج \ (\ left ({10} \ right) \ left ({12} \ right) = 120 = \ left ({- 8} \ right) \ left ({- 15} \ right) \)
\ (\ left ({10 {x ^ 2} - 8x} \ right) - 15x + 12 = 0 \)	يتم التعبير عنها كـ \ (- 23x = - 18x - 15 \)
\ (2x \ يسار ({5x - 4} \ يمين) - 3 \ يسار ({5x - 4} \ يمين) = 0 \)	حدد \ (2x \) كعامل مشترك في الإضافة الأولى وعاملها. حدد \ (- 3 \) كعامل مشترك في المضاف الثاني وعامله.
\ (\ يسار ({5x - 4} \ يمين) \ يسار ({2x - 3} \ يمين) = 0 \)	حلل العامل المشترك \ (5x - 4 \) إلى عوامل
\ (5 س - 4 = 0 \) \ (س = \ فارك {4} {5} \)	نعتبر احتمال أن يكون العامل \ (5x - 12 \) مساويًا للصفر. تم حل المعادلة التي تم الحصول عليها.
\ (2 س - 3 = 0 \) \ (س = \ فارك {3} {2} \)	ضع في اعتبارك احتمال أن يكون العامل \ (2x - 3 \) مساويًا للصفر. تم حل المعادلة التي تم الحصول عليها.

حلول \ ​​(10 ​​{x ^ 2} - 23x + 12 = 0 \) هي:
\ (x = \ frac {4} {5}، \؛ \ frac {3} {2} \)

المثال العملي 6: حل المعادلة \ ({x ^ 2} + 4x + 1 = 0 \)

\ ({x ^ 2} + 4x + 1 = 0 \)	الحالة الأولي ثلاثي الحدود ليس مربعًا كاملًا
\ ({x ^ 2} + 4x + 1 - 1 = - 1 \)	أضف -1 إلى كل جانب من المعادلة.
\ ({x ^ 2} + 4x = - 1 \)	بما أن \ (\ frac {1} {2} \ left (4 \ right) = 2 \) بإضافة \ ({2 ^ 2} \) ، نحصل على مربع كامل.
\ ({x ^ 2} + 4x + 4 = - 1 + 4 \)	أضف \ ({2 ^ 2} \ ؛ \) إلى جانبي المعادلة. الجانب الأيسر مربع كامل.
\ ({\ يسار ({س + 2} \ يمين) ^ 2} = 3 \)	يتم التعبير عن ثلاثي الحدود المربع الكامل في صورة مربعة ذات الحدين.
\ (\ sqrt {{{\ left ({x + 2} \ right)} ^ 2}} = \ pm \ sqrt 3 \)	خذ الجذر التربيعي لكل من طرفي المعادلة
\ (\ يسار | {س + 2} \ يمين | = \ مربع 3 \) \ (س = - 2 \ م \ مربع 3 \)	حل ل x\).

حلول \ ​​({x ^ 2} + 4x + 1 = 0 \) هي:
\ (س = - 2 - \ مربع 3 ، \ ؛ - 2 + \ مربع 3 \)

المثال العملي 7: حل المعادلة \ (5 {x ^ 2} + 3x - 1 = 0 \)

\ (5 {x ^ 2} + 3x - 1 = 0 \)	الحالة الأولي ثلاثي الحدود ليس مربعًا كاملًا.
\ (5 {x ^ 2} + 3x - 1 + 1 = 1 \)	أضف 1 إلى طرفي المعادلة
\ (\ frac {1} {5} \ left ({5 {x ^ 2} + 3x} \ right) = \ frac {1} {5} \ left (1 \ right) \)	اضرب في كل جانب من المعادلة بحيث يكون معامل \ ({x ^ 2} \) يساوي 1.
\ ({x ^ 2} + \ frac {3} {5} x = \ frac {1} {5} \)	يتم توزيع المنتج منذ \ (\ frac {1} {2} \ left ({\ frac {3} {5}} \ right) = \ frac {3} {{10}} \) ، عن طريق إضافة \ ({\ left ({ \ frac {3} {{10}}} \ right) ^ 2} = \ frac {9} {{100}} \) يعطي قيمة مربعة كاملة.
\ ({x ^ 2} + \ frac {3} {5} x + \ frac {9} {{100}} = \ frac {1} {5} + \ frac {9} {{100}} \)	أضف 3 إلى كلا طرفي المعادلة لحلها من أجل \ ({\ left ({x + 2} \ right) ^ 2} \)
\ ({\ left ({x + \ frac {3} {{10}}} \ right) ^ 2} \) = \ (\ frac {{29}} {{100}} \)	يتم التعبير عن ثلاثي الحدود المربع الكامل في صورة مكعبة ذات الحدين.
\ (\ sqrt {{{\ left ({x + \ frac {3} {{10}}} \ right)} ^ 2}} = \ sqrt {\ frac {{29}} {{100}}} \ )	خذ الجذر التربيعي لكل من طرفي المعادلة
\ (x = - \ frac {3} {{10}} \ pm \ frac {{\ sqrt {29}}} {{10}} \)	حل ل x\).

حلول \ ​​(5 {x ^ 2} + 3x - 1 = 0 \) هي:
\ (x = - \ frac {{3 + \ sqrt {29}}} {{10}}، \؛ - \ frac {{3 - \ sqrt {29}}} {{10}} \)

سيتم استخدام الإجراء المستخدم في المعادلة أعلاه للعثور على ما يسمى بالصيغة العامة للحلول التربيعية.

الصيغة العامة لمعادلة الدرجة الثانية.

الصيغة العامة للمعادلات التربيعية

سنجد في هذا القسم كيفية حل المعادلة التربيعية بطريقة عامة

مع \ (a \ ne 0 \) دعونا نفكر في المعادلة \ (a {x ^ 2} + bx + c = 0 \).

\ (a {x ^ 2} + bx + c = a \ left ({{x ^ 2} + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a}} \ right) = 0 \)

بما أن \ (a \ ne 0 \) يكفي حل:

\ ({x ^ 2} + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} = 0 \)

\ ({x ^ 2} + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} = 0 \)	الحالة الأولي
\ ({x ^ 2} + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} - \ frac {c} {a} = - \ frac {c} {a} \)	أضف \ (- \ frac {c} {a} \) إلى كل جانب من جوانب المعادلة.
\ ({x ^ 2} + \ frac {b} {a} x = - \ frac {c} {a} \)	منذ \ (\ frac {1} {2} \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) = \ frac {b} {{2a}} \) ، عن طريق إضافة \ ({\ left ({ \ frac {b} {{2a}}} \ right) ^ 2} = \ frac {{{b ^ 2}}} {{4 {a ^ 2}}} \) ينتج عنه ثلاثي مربع كامل.
\ ({x ^ 2} + \ frac {b} {a} x + \ frac {{{b ^ 2}}} {{4 {a ^ 2}}} = \ frac {{{b ^ 2}} } {{4 {a ^ 2}}} - \ frac {c} {a} \)	الجانب الأيسر من المعادلة هو ثلاثي الحدود مربع كامل.
\ ({\ left ({x + \ frac {b} {{2a}}} \ right) ^ 2} = \ frac {{{b ^ 2} - 4 {a ^ 2} c}} {{4 { أ ^ 2}}} \)	يتم التعبير عن ثلاثي الحدود المربع الكامل في صورة مربعة ذات الحدين. تم إجراء الكسر الجبري.
\ (\ sqrt {{{\ left ({x + \ frac {b} {{2a}}} \ right)} ^ 2}} = \ sqrt {\ frac {{{b ^ 2} - 4 {a ^ 2} ج}} {{4 {a ^ 2}}}} \)	خذ الجذر التربيعي لكل من طرفي المعادلة.
\ (\ left | {x + \ frac {b} {{2a}}} \ right | = \ frac {{\ sqrt {{b ^ 2} - 4 {a ^ 2} c}}} {{2a} } \)	تنطبق الخصائص الجذرية.
\ (x + \ frac {b} {{2a}} = \ pm \ frac {{\ sqrt {{b ^ 2} - 4 {a ^ 2} c}}} {{2a}} \)	يتم تطبيق خصائص القيمة المطلقة.
\ (x + \ frac {b} {{2a}} - \ frac {b} {{2a}} = \ pm \ frac {{\ sqrt {{b ^ 2} - 4 {a ^ 2} c}} } {{2a}} - \ frac {b} {{2a}} \)	أضف إلى كل جانب من المعادلة \ (- \ frac {b} {{2a}} \) لحل المعادلة \ (x \)
\ (x = \ frac {{- b \ pm \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}} \)	تم إجراء الكسر الجبري.

المصطلح \ ({b ^ 2} - 4 {a ^ 2} c \) يسمى مميز المعادلة التربيعية \ (a {x ^ 2} + bx + c = 0 \).

عندما يكون تمييز المعادلة أعلاه سالبًا ، تكون الحلول أرقامًا مركبة ولا توجد حلول حقيقية. لن يتم تغطية الحلول المعقدة في هذه المذكرة.

بالنظر إلى المعادلة التربيعية \ (a {x ^ 2} + bx + c = 0 \) ، إذا \ ({b ^ 2} - 4 {a ^ 2} c \ ge 0 \). ثم حلول هذه المعادلة هي:

\ (\ alpha = \ frac {{- b + \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}} \)

\ (\ beta = \ frac {{- b - \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}} \)

التعبير:

\ (x = \ frac {{- b \ pm \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}} \)

يطلق عليه الصيغة العامة للمعادلة التربيعية.

المثال العملي 8: حل المعادلة \ (3 {x ^ 2} - 2x - 5 = 0 \)

\(ل\)	\(ب\)	\ (ج \)	التمييز	حلول حقيقية
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\ ({2 ^ 2} - 4 \ يسار (3 \ يمين) \ يسار ({- 5} \ يمين) = 4 + 60 = 64 \)	\ (x = \ frac {{- \ left ({- 2} \ right) \ pm \ sqrt {64}}} {{2 \ left (3 \ right)}} = \ frac {{2 \ pm 8} } {6} \)

حلول المعادلة هي:
\ (\ alpha = - 1، \؛ \ beta = \ frac {5} {3} \)

المثال العملي 9: حل المعادلة \ (- 4 {x ^ 2} + 3x + 9 = 0 \)

\(ل\)	\(ب\)	\ (ج \)	التمييز	حلول حقيقية
\( – 4\)	3	9	\ ({3 ^ 2} - 4 \ يسار ({- 4} \ يمين) \ يسار (9 \ يمين) = 9 + 144 = 153 \) \ (153 = 9 \ يسار ({17} \ يمين) \)	\ (x = \ frac {{- 3 \ pm \ sqrt {9 \ left ({17} \ right)}}} {{2 \ left ({- 4} \ right)}} = \ frac {{- 3 \ مساءً 3 \ sqrt {17}}} {{- 8}} \)

حلول المعادلة هي:
\ (\ alpha = \ frac {{3 - 3 \ sqrt {17}}} {8}، \؛ \ beta = \ frac {{3 + 3 \ sqrt {17}}} {8} \)

المثال العملي 10: حل المعادلة \ (5 {x ^ 2} - 4x + 1 = 0 \)

\(ل\)	\(ب\)	\ (ج \)	التمييز	حلول حقيقية
\(5\)	-4	\(1\)	\ ({\ يسار ({- 4} \ يمين) ^ 2} - 4 \ يسار (5 \ يمين) \ يسار (1 \ يمين) = 16-20 = - 4 \)	ليس عنده

معادلات متنوعة

هناك معادلات غير تربيعية يمكن تحويلها إلى معادلة من الدرجة الثانية ، وسنشاهد حالتين.

المثال العملي 11: إيجاد الحلول الحقيقية للمعادلة \ (6x = 5-13 \ sqrt x \)

عند إجراء تغيير المتغير \ (y = \ sqrt x \) ، تظل المعادلة السابقة كما يلي:

\ (6 {ص ^ 2} = 5 - 13 عامًا \)

\ (6 {y ^ 2} + 13y - 5 = 0 \)

\ (6 {y ^ 2} + 15y - 2y - 5 = 0 \)

\ (3y \ left ({2y + 5} \ right) - \ left ({2y + 5} \ right) = 0 \)

\ (\ left ({2y + 5} \ right) \ left ({3y - 1} \ right) = 0 \)

لذلك \ (y = - \ frac {2} {5}، \؛ \ frac {1} {3} \).

نظرًا لأن \ (\ sqrt x \) يشير فقط إلى القيم الإيجابية ، فسننظر فقط في:

\ (\ sqrt x = \؛ \ frac {1} {3} \)

إجابة:

الحل الحقيقي الوحيد هو:
\ (س = \ فارك {1} {9} \)

المثال العملي 12: حل المعادلة \ (\ sqrt {\ frac {x} {{x - 5}}} - \ sqrt {\ frac {{x - 5}} {x}} = \ frac {5} {6 } \)

إجراء تغيير المتغير:

\ (y = \ sqrt {\ frac {x} {{x - 5}}} \)

نحصل على المعادلة:

\ (y - \ frac {1} {y} = \ frac {5} {6} \)

\ (6 {ص ^ 2} - 6 = 5 سنوات \)

\ (6 {ص ^ 2} - 5 س - 6 = 0 \)

\ (6 {y ^ 2} - 9y + 4y - 6 = 0 \)

\ (3y \ left ({2y - 3} \ right) + 2 \ left ({2y - 3} \ right) = 0 \)

\ (\ left ({2y - 3} \ right) \ left ({3y + 2} \ right) = 0 \)

القيم المحتملة لـ \ (ص \) هي:

\ (y = - \ frac {2} {3}، \؛ \ frac {3} {2} \)

مما ورد أعلاه سننظر فقط في الحل الإيجابي.

\ (\ sqrt {\ frac {x} {{x - 5}}} = \ frac {3} {2} \)

\ (\ frac {x} {{x - 5}} = \ frac {9} {4} \)

\ (4x = 9x - 45 \)

\ (5 س = 45 \)

\ (س = 9. \)

الحلول هي \ (س = 9. \)