تعريف مبدأ / معادلة برنولي

يُعد مبدأ برنولي ، الذي يُطلق عليه أيضًا معادلة برنولي ، أحد أهم المفاهيم في الديناميكا المائية وميكانيكا الموائع. صاغه الفيزيائي وعالم الرياضيات السويسري دانييل برنولي عام 1738 كجزء من عمله "الديناميكا المائيةوجزء من الحفاظ على الطاقة في سائل مثالي متحرك.

لنتخيل الموقف التالي: لدينا خرطوم يتدفق من خلاله الماء ، والذي يترك الخرطوم بسرعة معينة وضغط معين. ثم ننتقل إلى تغطية فتحة خروج الخرطوم جزئيًا بإصبع ؛ من خلال القيام بذلك ، نرى كيف يخرج الماء الآن بسرعة أكبر. هذا مثال على مبدأ برنولي في العمل.

السوائل المثالية في الحركة

ينطبق مبدأ برنولي على السوائل المثالية المتحركة ، لذا قبل المضي قدمًا في شرح هذا المبدأ ، من المهم أن نذكر ما نعنيه بالسائل المثالي. السائل المثالي هو تبسيط مائع حقيقي ، ويتم ذلك بسبب وصف المائع المثالي أبسط من الناحية الرياضية ويعطينا نتائج مفيدة يمكن توسيعها لاحقًا لتشمل حالة السوائل حقيقي.

هناك أربعة افتراضات تم وضعها لاعتبار السائل مثاليًا وكلها تتعلق بالتدفق:

• التدفق الثابت: التدفق الثابت هو الذي تكون فيه السرعة التي يتحرك بها السائل هي نفسها في أي نقطة في الفضاء. بمعنى آخر ، نفترض أن السائل لا يتعرض للاضطراب.

• عدم الانضغاط: من المفترض أيضًا أن السائل المثالي غير قابل للضغط ، أي أن له كثافة ثابتة في جميع الأوقات.

• عدم اللزوجة: اللزوجة هي خاصية للسوائل التي تمثل ، بشكل عام ، المقاومة التي يعارضها السائل للحركة. يمكن اعتبار اللزوجة مماثلة للاحتكاك الميكانيكي.

• التدفق المتقطع: مع هذا الافتراض نشير إلى حقيقة أن المائع المتحرك لا يقوم بأي نوع من الحركة الدائرية حول أي نقطة من مساره.

من خلال وضع هذه الافتراضات وامتلاك سائل مثالي ، فإننا نبسط المعالجة الرياضية إلى حد كبير و نحن نضمن أيضًا الحفاظ على الطاقة ، وهي نقطة الانطلاق نحو مبدأ برنولي.

وأوضح معادلة برنولي

دعونا نفكر في سائل مثالي يتحرك عبر أنبوب كما هو موضح في الشكل التالي:

سنستخدم الآن نظرية الشغل والطاقة الحركية ، وهي طريقة أخرى للتعبير عن قانون الحفاظ على الطاقة ، وهذا يخبرنا بما يلي:

\ (W = {\ rm {\ Delta}} كلفن \)

حيث \ (W \) هو إجمالي العمل الميكانيكي و \ ({\ rm {\ Delta}} ك \) هو التغير في الطاقة الحركية بين نقطتين. في هذا النظام لدينا نوعان من العمل الميكانيكي ، أحدهما يتم بواسطة قوة الجاذبية على السائل والآخر ينتج عن ضغط السائل. لنفترض أن \ ({W_g} \) هو الشغل الميكانيكي المنجز بالجاذبية و \ ({W_p} \) العمل الميكانيكي المنجز بالضغط ، يمكننا بعد ذلك أن نقول:

\ ({W_g} + {W_p} = {\ rm {\ Delta}} كلفن \)

نظرًا لأن الجاذبية قوة محافظة ، فإن الشغل الميكانيكي الذي تقوم به سيكون مساويًا للفرق في طاقة وضع الجاذبية بين نقطتين. الارتفاع الأولي الذي يوجد عنده السائل هو \ ({y_1} \) والارتفاع النهائي \ ({y_2} \) ، لذلك لدينا:

\ ({W_g} = - {\ rm {\ Delta}} مجم {\ rm {\ Delta}} y = - {\ rm {\ Delta}} مجم \ يسار ({{y_2} - {y_1}} \ يمين ) \)

حيث \ ({\ rm {\ Delta}} م \) هو جزء كتلة السائل الذي يمر عبر نقطة معينة و \ (ز \) هو التسارع الناتج عن الجاذبية. بما أن السائل المثالي غير قابل للضغط ، إذن \ ({\ rm {\ Delta}} m = \ rho {\ rm {\ Delta}} V \). حيث \ (\ rho \) هي كثافة السائل و \ ({\ rm {\ Delta}} V \) هو جزء الحجم الذي يتدفق عبر نقطة. باستبدال هذا في المعادلة أعلاه نحصل على:

\ ({W_g} = - \ rho g {\ rm {\ Delta}} ف \ يسار ({{y_2} - {y_1}} \ right) \)

دعونا الآن نفكر في العمل الميكانيكي الذي يقوم به ضغط السائل. الضغط هو القوة المبذولة لكل وحدة مساحة ، أي \ (F = PA \). من ناحية أخرى ، يتم تعريف العمل الميكانيكي على أنه \ (W = F {\ rm {\ Delta}} x \) حيث \ (F \) هي القوة المطبقة و \ ({\ rm {\ Delta}} x \) هل الإزاحة تتم في هذه الحالة على المحور السيني. في هذا السياق ، يمكننا التفكير في \ ({\ rm {\ Delta}} x \) على أنها طول جزء السائل الذي يتدفق عبر نقطة معينة. بدمج المعادلتين لدينا \ (W = PA {\ rm {\ Delta}} x \). يمكننا أن ندرك أن \ (A {\ rm {\ Delta}} x = {\ rm {\ Delta}} V \) ، أي جزء الحجم الذي يتدفق عبر تلك النقطة. لذلك ، لدينا هذا \ (W = P {\ rm {\ Delta}} V \).

في البداية ، يتم عمل ميكانيكي على النظام يساوي \ ({P_1} {\ rm {\ Delta}} V \) وعند نقطة النهاية ، يقوم النظام بعمل ميكانيكي على محيط يساوي \ ({P_2} {\ rm {\ Delta }}الخامس\). سيكون العمل الميكانيكي الناتج عن ضغط المائع هو العمل المنجز على النظام مطروحًا منه العمل الذي يقوم به في محيطه ، وهذا يعني أن:

\ ({W_p} = {P_1} {\ rm {\ Delta}} V - {P_2} {\ rm {\ Delta}} V = \ left ({{P_1} - {P_2}} \ right) {\ rm {\ Delta}} ف \)

أخيرًا ، سيكون الفرق في الطاقة الحركية \ ({\ rm {\ Delta}} ك \) مساويًا للطاقة الحركية عند نقطة النهاية مطروحًا منها الطاقة الحركية عند نقطة البداية. إنه:

\ ({\ rm {\ Delta}} K = \ frac {1} {2} {\ rm {\ Delta}} mv_2 ^ 2 - \ frac {1} {2} {\ rm {\ Delta}} mv_1 ^ 2 = \ frac {1} {2} {\ rm {\ Delta}} م \ يسار ({v_2 ^ 2 - v_1 ^ 2} \ right) \)

مما سبق ، نعلم أن \ ({\ rm {\ Delta}} م = \ rho {\ rm {\ Delta}} ف \). تكون المعادلة أعلاه كما يلي:

\ ({\ rm {\ Delta}} K = \ frac {1} {2} \ rho {\ rm {\ Delta}} V \ left ({v_2 ^ 2 - v_1 ^ 2} \ right) \)

باستبدال جميع النتائج التي تم الحصول عليها في معادلة الحفاظ على الطاقة ، يتم الحصول على ما يلي:

\ (\ left ({{P_1} - {P_2}} \ right) {\ rm {\ Delta}} V - \ rho {\ rm {\ Delta}} V \ left ({{y_2} - {y_1}} \ right) = \ frac {1} {2} \ rho {\ rm {\ Delta}} ف \ يسار ({v_2 ^ 2 - v_1 ^ 2} \ right) \)

يمكننا تحليل المصطلح \ ({\ rm {\ Delta}} V \) على جانبي المعادلة ، وهذا يؤدي إلى:

\ ({P_1} - {P_2} - \ rho g \ left ({{y_2} - {y_1}} \ right) = \ frac {1} {2} \ rho \ left ({v_2 ^ 2 - v_1 ^ 2 } \يمين)\)

تطوير المنتجات المفقودة علينا:

\ ({P_1} - {P_2} - \ rho g {y_2} + \ rho g {y_1} = \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 - \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 \)

إعادة ترتيب جميع الشروط على جانبي المعادلة نحصل على ما يلي:

\ ({P_1} + \ rho g {y_1} + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 = {P_2} + \ rho g {y_2} + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 \)

هذه المعادلة هي علاقة بين الحالة الأولية والحالة النهائية لنظامنا. يمكننا أن نقول أخيرًا ما يلي:

\ (P + \ rho gy + \ frac {1} {2} \ rho {v ^ 2} = ثابت \)

هذه المعادلة الأخيرة هي معادلة برنولي التي اشتق منها مبدأها. مبدأ برنولي هو قانون الحفاظ على سائل مثالي متحرك.

مراجع

ديفيد هاليداي وروبرت ريسنيك وجيرل ووكر. (2011). أساسيات الفيزياء. الولايات المتحدة: John Wiley & Sons، Inc.