تعريف القوة الجاذبة المركزية

القوة الجاذبة المركزية هي القوة المؤثرة على جسم يتحرك على طول مسار منحني. اتجاه هذه القوة يكون دائمًا نحو مركز المنحنى وهو ما يبقي الجسم على هذا المسار، ويمنعه من مواصلة حركته في خط مستقيم.

الحركة المنحنية والقوة الجاذبة المركزية

لنفترض أن لدينا جسمًا يتحرك في مسار دائري. لوصف الحركة المنحنية لهذا الجسم، يتم استخدام المتغيرات الزاوية والخطية. المتغيرات الزاوية هي تلك التي تصف حركة الجسم من حيث الزاوية التي "يجتاحها" على طول مساره. من ناحية أخرى، المتغيرات الخطية هي تلك التي تستخدم موضعه بالنسبة إلى نقطة الدوران وسرعته في الاتجاه العرضي للمحور منحنى.

تسارع الجاذبية \({a_c}\) الذي يتعرض له جسم يتحرك في مسار دائرية بسرعة عرضية \(v\) وعلى مسافة \(r\) من نقطة الدوران ستكون معطى بواسطة:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

التسارع المركزي هو متغير خطي يستخدم لوصف الحركة المنحنية ويتم توجيهه نحو مركز المسار المنحني. من ناحية أخرى، السرعة الزاوية ω للكائن، أي معدل تغير زاوية المسح (بالراديان) لكل وحدة زمنية، تُعطى بواسطة:

\(\أوميغا = \frac{v}{r}\)

أو يمكننا الحل من أجل \(v\):

\(v = \أوميغا r\)

هذه هي العلاقة الموجودة بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية. إذا عوضنا ذلك في تعبير التسارع المركزي نحصل على:

\({a_c} = {\أوميغا ^2}r\)

يخبرنا قانون نيوتن الثاني أن تسارع الجسم يتناسب طرديا مع القوة المؤثرة عليه ويتناسب عكسيا مع كتلته. أو في أشهر صوره:

\(و = أماه\)

حيث \(F\) هي القوة، \(m\) هي كتلة الجسم و\(a\) هي التسارع. في حالة الحركة المنحنية، إذا كان هناك تسارع جاذب مركزي، فلا بد أن تكون هناك قوة أيضًا الجاذبية المركزية \({F_c}\) التي تؤثر على الجسم ذي الكتلة \(m\) والتي تسبب تسارع الجاذبية \({a_c}\)، هي يقول:

\({F_c} = م{a_c}\)

باستبدال التعبيرات السابقة لتسارع الجاذبية نحصل على ما يلي:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

يتم توجيه القوة الجاذبة المركزية نحو مركز المسار المنحني وهي المسؤولة عن ذلك تغيير الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم باستمرار للحفاظ على حركته منحن.

الجاذبية كقوة جاذبة مركزية وقانون كبلر الثالث

ينص قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب على أن مربع الفترة المدارية هو الزمن الزمن الذي يستغرقه الكوكب لإكمال دورة واحدة حول الشمس يتناسب طرديا مع مكعب نصف المحور الأكبر للشمس يدور في مدار. إنه:

\({T^2} = C{r^3}\)

حيث \(T\) هي الفترة المدارية \(C\) فهي ثابتة و\(r\) هي شبه المحور الرئيسي، أو أقصى مسافة بين الكوكب والشمس طوال مداره..

للتبسيط، فكر في كوكب كتلته \(m\) يتحرك في مدار دائري حول الشمس، على الرغم من أن هذا التحليل يمكن أن يمتد إلى حالة المدار الإهليلجي والحصول على نفس الشيء نتيجة. القوة التي تبقي الكوكب في مداره هي الجاذبية، والتي ستكون:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

حيث \({F_g}\) هي قوة الجاذبية، \({M_S}\) هي كتلة الشمس، \(G\) هو ثابت الجاذبية العالمي و \(r\) هي المسافة بين الكوكب والشمس. ومع ذلك، إذا تحرك الكوكب في مدار دائري، فإنه يتعرض لقوة جاذبة مركزية \({F_c}\) الذي يبقيه على المسار المذكور وذلك من حيث السرعة الزاوية \(\omega \) سيكون معطى بواسطة:

\({F_c} = م{\أوميغا ^2}r\)

والغريب في هذه الحالة أن الجاذبية هي تلك القوة الجاذبة المركزية التي تبقي الكوكب في مداره، في بضع كلمات \({F_g} = {F_c}\)، لذلك يمكننا أن نقول:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

والتي يمكننا تبسيطها على النحو التالي:

\(G{M_S} = {\أوميغا ^2}{r^3}\)

ترتبط السرعة الزاوية بالدورة المدارية على النحو التالي:

\(\أوميغا = \frac{{2\pi }}{T}\)

وبتعويض هذا في المعادلة السابقة نحصل على ما يلي:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

بإعادة ترتيب المصطلحات نحصل أخيرًا على ما يلي:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

الأخير هو بالضبط قانون كبلر الثالث الذي قدمناه سابقًا وإذا قارنا ثابت التناسب فسيكون \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

ماذا عن قوة الطرد المركزي؟

من الشائع أكثر أن يتحدث هذا النوع من الحركة عن "قوة الطرد المركزي" بدلاً من قوة الجذب المركزي. قبل كل شيء، لأن هذا هو ما نشعر به على ما يبدو عندما نختبر هذا. ومع ذلك، فإن قوة الطرد المركزي هي قوة وهمية ناتجة عن القصور الذاتي.

لنتخيل أننا نركب سيارة تسير بسرعة معينة وفجأة تضغط على الفرامل. عندما يحدث هذا سنشعر بقوة تدفعنا للأمام، لكن هذه القوة الظاهرة التي نشعر بها هي جمود جسدنا الذي يريد الحفاظ على حالة حركته.

في حالة الحركة المنحنية، قوة الطرد المركزي هي القصور الذاتي للجسم الذي يريد الحفاظ على حركته حركة مستقيمة ولكنها تخضع لقوة جاذبة مركزية تبقيها على المسار المنحني.

مراجع

ديفيد هاليداي، روبرت ريسنيك وجيرل ووكر. (2011). أساسيات الفيزياء. الولايات المتحدة: شركة John Wiley & Sons, Inc.