مثال على المضاعف المشترك الأصغر

المضاعف المشترك الأصغر ، الذي يمثله الاختصار m.c.m. ، لرقمين أو أكثر هو أصغر المضاعفات المشتركة للأرقام المذكورة ، بخلاف الصفر. أسهل طريقة للعثور على m.c.m من رقمين أو أكثر هو تحليل كل رقم إلى عوامله الأولية. إذن ، المضاعف المشترك الأصغر يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشتركة وغير الشائعة ذات الأس الأكبر. نقوم بتحليل المثال التالي للمضاعف المشترك الأصغر من أجل توضيح الفكرة:
1) يجب أن تكون هناك سفينتان تغادران معًا من مكسيكو سيتي. سيغادر أحدهم مرة أخرى في غضون اثني عشر (12) يومًا والآخر في غضون أربعين (40) يومًا. السؤال هو كم يومًا ستنقضي كلتا السفينتين معًا؟
في هذا المثال ، ما يجب علينا فعله هو إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 12 و 40. للقيام بذلك ، نحلل كل من هذه الأرقام إلى عواملها الأولية.
رقم العوامل الرئيسية
12 2
6 2
3 3
1
رقم العوامل الرئيسية
40 2
20 2
10 2
5 5
1
في هذا المثال ، يمثل تحليل رقم إلى عوامله الأولية قسمة كل واحد منهم على أصغر عدد أولي يقسمه بالضبط. لذلك نصل إلى الاستنتاجات التالية:
12 = 2 × 2 × 3 ، أو ما هو نفسه 12 = 2 تربيع (2) × 3 ص
40 = 2 × 2 × 2 × 5 ، أو ما هو نفسه 40 = 2 تكعيب (3) × 5

المضاعف المشترك الأصغر هو نتاج العوامل المشتركة وغير الشائعة ذات الأس الأكبر ، أي m.c.m. من 12 و 40 = 2 مرفوعة مكعب x 3 x 5 ، m.c.m 12 و 40 = 120 ، لذا فإن الإجابة الصحيحة لهذا المثال هي أن السفن ستخرج معًا مرة أخرى في غضون 120 أيام.

مثال آخر على المضاعف المشترك الأصغر:

2) يلعب اثنان من راكبي الدراجات المحترفين مسابقة على مضمار فيلودروم. يستغرق أولهما 32 ثانية لإكمال دورة كاملة والثاني 48 ثانية. كم مرة سوف يجتمعون بالثواني عند نقطة البداية؟
هذا المثال مشابه للمثال السابق لذا علينا تحليل 32 و 48 إلى عواملهما الأولية.
رقم العوامل الأولية
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
رقم العوامل الأولية
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
لذلك 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 أي 32 = 2 مرفوعة إلى الخامس (5) و 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 أي 48 = 2 مرفوعة إلى الرابع (4) × 3 .
نظرًا لأن المضاعف المشترك الأصغر يساوي منتج العوامل المشتركة وغير الشائعة ذات الأس الأكبر ، لدينا gcm 32 و 48 = 2 مرفوعًا إلى خامس x 3. المضاعف المشترك الأصغر هو 32 و 48 = 96 ، لذا فإن الإجابة على هذا المثال هي أن راكبي الدراجات سيجتمعان مرة أخرى عند نقطة البداية عند 96 ثانية.
3) في بيت مصرفي ، يتم برمجة أجهزة الإنذار الأمنية بكفاءة. سيصدر الصوت الأول كل 10 ثوانٍ ، والثاني كل 15 ثانية ، والأخير كل 20 ثانية. كم ثانية سوف تنطلق أجهزة الإنذار معًا؟
المنطق مشابه لما في الأمثلة السابقة ، يجب علينا حساب المضاعف المشترك الأصغر لـ 10 و 15 و 20. للقيام بذلك ، نقوم بتحليل عوامله الأولية للأرقام الثلاثة.
رقم العوامل الأولية
10 2
5 5
1
رقم العوامل الأولية
15 3
5 5
1
رقم العوامل الأولية
20 2
10 2
5 5
1
لدينا 10 = 2 × 5 ، أي 15 = 3 × 5 ، و 20 = 2 تربيع (2) × 5. المضاعف المشترك الأصغر هو 10 و 15 و 20 = 2 تربيع (2) × 3 × 5 = 60. الجواب على هذا المثال هو أن جميع الإنذارات الثلاثة ستصدر صوتًا معًا في 60 ثانية (دقيقة واحدة).
تذكر أن الأعداد الأولية هي تلك الأعداد القابلة للقسمة فقط بين الوحدة (1) وأنفسهم.