Определение на неевклидова геометрия

По принцип неевклидовите геометрии са тези, които възникват от поставянето под въпрос на т.нар. 5-ти постулат на Евклидследователно общата характеристика на работата на Евклид е от съществено значение, който е гръцки математик и геометър, чиято работа е парадигматична за Геометрия, да се счита за един от основателите му. Известно е със сигурност сигурност който е живял в град Александрия, културен център на древността, около 300 г. пр. н. е. ° С.

Неговата работа Елементи започва с поредица от „принципи“, съставени от списък от 23 дефиниции; следван от 5 постулата, отнасящи се до фигури специално геометрични; и 5 общи аксиоми, общи за други математически дисциплини. След това, след принципите, Евклид въвежда "предложенията" от два вида: проблеми, отнасящи се до

сграда на фигури с правило и пергел; и теореми, отнасящи се до демонстрацията на свойствата, които някои геометрични фигури.

Пети постулат на Евклид

Той заявява, че „Ако права линия, която пада върху две други прави линии, прави вътрешните ъгли на същата страна по-малки от две прави линии, тогава, ако двете линии се удължават безкрайно, те се срещат от страната, на която ъглите са по-малки от два прав”. Ако ъглите бяха прави, тогава такива линии, съгласно дефиниция № 23, биха били успоредни ("Успоредните прави са прави, които, ако са в една и съща равнина и са удължени неограничено, не се срещат в никоя посока.”).

Този постулат, по-сложен от предишните, сам по себе си не беше безспорен: не беше очевидно, че удължаването линии неограничено, те ще се пресичат от страната, където ъглите са по-малки от два прави ъгъла, тъй като не би било възможно да се докаже чрез сграда. Тогава възможността линиите да се приближават една към друга за неопределено време, без изобщо да се пресичат, беше оставена отворена.

Опит за доказване на петия постулат

Именно поради тази причина от Античността до средата на 19 век е имало поредица от неуспешни опити за доказване на петия постулат: доказателство винаги е било постигнато; но въвежда друг допълнителен постулат (логически еквивалентен на петия), различен от тези на Евклид. Тоест петият постулат не може да бъде доказан, а е заменен с еквивалентен.

Пример за това е постулатът на Джон Плейфеър (ст. XVIII): „Една точка, успоредна на тази права, минава през точка извън права, която е в същата равнина." (познат като "паралелен постулат”). Неевклидовите геометрии възникват именно от неуспешните опити за доказване на петия постулат на Евклидовата система.

Тестът за абсурдност на Сакери

През 1733 г. италианският математик Джироламо Сакери се опитва да докаже абсурдността на петия постулат на Евклид. За да направи това, той построи четириъгълник (известен като "Четириъгълник на Сакери“, в която една двойка ъгли са прави ъгли) и заяви, че петият постулат е еквивалентен на твърдението, че характерни ъгли (тези, противоположни на двойката прави ъгли) на този четириъгълник също са прави ъгли. тогава има три хипотеза възможни, взаимно изключващи се: че двата характерни ъгъла са прави, остри или тъпи. За да се докаже петият постулат чрез абсурда, беше необходимо да се докаже (без да се прибягва до петия постулира), че хипотезите за тъпия и острия ъгъл предполагат противоречие и следователно са фалшиво.

Сакери успя да докаже, че хипотезата за тъп ъгъл е противоречива, но не успя в случая с острия ъгъл. Напротив, той изведе серия от теореми, съвместими и несъвместими с евклидовата геометрия. Накрая той заключи, че предвид странността на тези теореми, хипотезата трябва да е невярна. Следователно той вярваше, че е доказал петия постулат абсурден; обаче това, което той направи, беше неволно да докаже важен набор от теореми на неевклидовата геометрия.

„Едновременното” откриване на неевклидови геометрии

Карл Ф. Гаус през деветнадесети век е първият, който заподозря, че петият постулат не може да бъде доказан от останалите четири (тоест, че е независимо) и в схващането на възможността за неевклидова геометрия, която се основава на четирите евклидови постулати и на отрицанието на пето. Той никога не е публикувал своето откритие: това се счита за случай на едновременно откритие, тъй като е имал трима независими референта (самият Гаус, Янош Боляи и Николай Лобачевски).

Отричането на пети закон на Euclidean предполага две възможности (вземайки еквивалентната формулировка на Playfair): през точка извън права линия, или няма успоредни минавания, или повече от едно успоредно преминаване. Сред неевклидовите геометрии намираме, например, геометрията "въображаем” от Лобачевски, известен по-късно като „хиперболична"- Според, "Като се има предвид външна точка на права, през тази точка минават безкрайни пресичащи се прави, безкрайни непресечни прави и само две успоредни прави.“, за разлика от уникалния евклидов паралел; или елиптичната геометрия на Бернхард Риман, която гласи, че "През точка извън права не минава паралел на тази права.”.

Приложения и последици от откритието

Понастоящем е известно, че в локалното пространство и двете геометрии дават приблизителни резултати. Разликите се появяват, когато физическото пространство се описва с една или друга геометрия, като се имат предвид големи разстояния. Въпреки че продължаваме да използваме евклидова геометрия, тъй като тя е тази, която най-просто описва нашето пространство в локален мащаб, откритието на неевклидовите геометрии беше решаващо, доколкото означаваше радикална трансформация на разбирането на истините научен.

Дотогава се смяташе, че евклидовата геометрия наистина описва пространството. При доказване на възможността да се опише чрез друга геометрия, с други постулати, беше необходимо да се преосмислят критериите, по които е възможно да се приеме едно или друго обяснение като "вярно”.

Библиография

МАРТИНЕС ЛОРКА, А. (1980) „Етиката на Сократ и тяхното влияние върху мисъл Occidental“, в Revista Baética: Estudios de Arte, География и история, 3, 317-334. Малага университет.

Теми по неевклидова геометрия