Какво е уравнението на Дирак и как се дефинира?

Пол Адриен Морис Дирак (1902-1984) предлага в края на 1928 г. едно от уравненията с най-голямо значение и последици във физиката на настоящата ера и това е така, защото обединява принципите на квантовата механика с тези на относителност.

Цитат (APA)

Евелин Майте Марин | авг. 2022
Индустриален инженер, магистър по физика и EdD

Това уравнение може да бъде изразено по няколко начина, като най-компактният и опростен е това, което се смята за едно от най-естетичните уравнения в науката:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Където:
i: въображаема единица
m: маса на покой на електрона
ħ: редуцирана константа на Планк
° С: скорост на светлината
: оператор за сумиране на частни производни
: математическа вълнова функция на електрона

Абсолютната стойност на квадрата на вълновата функция представлява вероятност да се намери частицата в определена позиция, като се има предвид нейната Енергия, скорост, наред с други параметри, както и неговата еволюция във времето. С други думи, уравнението на Пол Дирак използва матрици, действащи върху вектори, и представлява еволюция на уравнението на Шрьодингер в релативистичната квантова физика.

Уравнението на Дирак първоначално е било използвано за описание на поведението на електрон, лишен от взаимодействие, въпреки че неговата приложимост се простира до описание на субатомни частици, когато се движат със скорости, близки до скоростта на светлината. Дирак успя да обясни в субатомен мащаб двойното поведение на вълната и частицата, което вече беше известно по това време, тъй като той разгледа свойствата на частиците като ъглов импулс присъща или завъртете.

Друг значителен принос на уравнението на Дирак е предсказанието на антиматерията, чието съществуване по-късно беше демонстрирано (през 1932 г.) от Карл Д. Андерсън използва облачна камера, с която идентифицира позитрона. Това също до голяма степен обяснява фината структура, идентифицирана в атомните спектрални линии.

Изображението показва известната снимка, направена по време на конференцията "Фотони и електрони" през 1927 г., където са изобразени някои от най-забележителните учени в историята. В небесната обиколка е Пол Дирак.

Предистория на уравнението на Дирак

За да разберем съображенията, взети от Дирак при разработването на неговото уравнение, както и Основите, на които се основава неговият подход, е важно да се познават теориите преди него модел.

Първо, има известното уравнение на Шрьодингер от квантовата механика, публикувано през 1925 г., което преобразува величини в квантови оператори. Това уравнение използва вълновата функция (), като взема за начална точка класическото уравнение на енергия E = p2/2m и включва правилата за квантуване както за импулса (p), така и за енергията (И):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Частичната производна /t изразява еволюцията на системата по отношение на времето. Първият термин в квадратната скоба се отнася до Кинетична енергия (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), докато вторият член се отнася до потенциална енергия.

Забележка: в теорията на относителността на Айнщайн променливите пространство и време трябва да влизат еднакво в уравнения, което не е случаят с уравнението на Шрьодингер, в което времето се появява като производна, а позицията като втора производна.

Сега, в продължение на векове, учените се опитват да намерят модел на физиката, който обединява различните теории, а в случая на Уравнението на Шрьодингер отчита масата (m) и заряда на електрона, но не отчита релативистичните ефекти, които се проявяват при високи скорости. Поради тази причина през 1926 г. учените Оскар Клайн и Уолтър Гордън предлагат уравнение, което отчита принципите на относителността:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Проблемът с уравнението на Клайн-Гордън е, че то се основава на това на Айнщайн, в което енергията е на квадрат, така че това (Клайн-Гордън) уравнение включва производна на квадрат по отношение на времето и това означава, че има две решения, позволяващи отрицателни стойности на времето, а това няма смисъл физически. По същия начин има неудобството да генерира вероятностни стойности, по-малки от нула, като решения.

Опитвайки се да разреши несъответствията, загатнати от отрицателни решения с определени величини, които не подкрепят тези резултати, Пол Дирак започна от уравнението на Клайн-Гордън до линеаризира го и в тази процедура той въведе два параметъра под формата на матрици с размерност 4, известни като матрици на Дирак или също матрици на Паули, и които са представяне на алгебрата на завъртане. Тези параметри се означават като  и ` (в енергийното уравнение те са представени като E = pc + mc2):

По това, което е равенство е изпълнено, условието е ´2 = m2c4

Като цяло, правилата за квантуване водят до операции с производни, които се прилагат към скаларни вълнови функции, обаче, тъй като параметрите α и β са матрици 4x4, диференциалните оператори се намесват върху четириизмерен вектор (), известен като спинор.

Уравнението на Дирак решава проблема с отрицателната енергия, представен от уравнението на Клайн-Гордън, но все още се появява решение с отрицателна енергия; частици със свойства, подобни на тези на другия разтвор, но с противоположен заряд, Дирак ги нарече античастици. Освен това с уравнението на Дирак е показано, че въртенето е резултат от прилагане на релативистични свойства към квантовия свят.