Определение на квадратична функция

Квадратична функция на реална променлива, чиято форма е изразена.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Когато променливата е \(x\), \(a, b\) и c са реални константи, наречени коефициенти на квадратичната функция с \(a \ne 0.\)

Таблицата представя общи примери за квадратични функции и ситуацията, която те могат да моделират, за да илюстрира по-късно прякото им приложение от реални проблеми.

Квадратична функция	Ситуация, която можете да моделирате
\(f\наляво( x \надясно) = {x^2}\)	Променливата \(y\) е площта на квадрат, чиято страна измерва \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Променливата \(y\) е площта на кръг, чийто радиус е \(x\).
\(f\left( x \right) = 100 – 4,9{x^2}\)	Променливата \(y\) е височината на обект, който е бил изпуснат на височина 100, а \(x\) е изминалото време.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Променливата \(y\) е височината на гюле, хвърлено под ъгъл 45° със скорост 60 m/s, а \(x\) е изминалото време.

Общата формула и квадратичната функция

Ако за \(x = \alpha \) квадратната функция е нула, тогава числото е \(\alpha \) се нарича корен на квадратната функция, да, \(\alpha \) е решението на квадратното уравнение

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Общата формула за решаване на квадратни уравнения имаме, че корените на квадратна функция са:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

От горното се установява следната връзка между корените и коефициентите на квадратичната функция:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Чрез забележителни продукти се установява следната идентичност:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

По начин, подобен на установения в общата формула, се установява, че квадратичната функция може да се изрази във формата:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

С \(h = – \frac{b}{{2a}}\) и \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Чрез решаване на уравнението:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Получава се:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

От горното може да се заключи, че \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), само ако константите \(k\) и \(a\) са от противоположни знаци, тази квадратна функция има реални корени, които са: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Ако константите \(k\) и \(a\) имат един и същ знак, тогава квадратичната функция няма реални корени.

Когато \(k = 0,\;\;\)квадратната функция има само един корен.

Примери, приложени към реалния живот

Пример за приложение 1: Икономика

Училище иска да организира футболен турнир, в който всеки отбор играе с всеки от другите отбори само веднъж. Има бюджет от $15 600 за цената на арбитража, ако цената на арбитража е $200 на игра. Колко отбора могат да се регистрират за турнира?

Постановка на проблема: Трябва да намерим функция, която изчислява броя на съвпаденията, когато имаме \(n\) отбори, за да ги преброим, ще направим предположението, че отбор 1 играе първи с всички останали, тоест \(n – 1\) мачове. Отбор 2 сега ще играе с всички останали, тоест с \(n – 2\), тъй като те вече ще са играли с отбор 1. Отбор 3 вече ще е играл с отбори 1 и 2, така че ще трябва да играе с n-3 отбора.

С горните разсъждения стигаме до:

\(f\вляво( n \вдясно) = n – 1 + n – 2 + \lточки + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Функцията на разходите е:

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

Имайки бюджет от $15 600, имаме уравнението:

\(100n\ляво( {n – 1} \дясно) = 15600\)

решение на уравнението

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Първоначална ситуация
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Разделете всяка страна на уравнението на 100
\({n^2} – n – 156 = \) Добавете \( – 156\) към всяка страна на уравнението
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Имаме \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) и \( – 13 + 12 = – 1\)
Беше факторизирано.
Решения на уравнението \(n = – 12,\;13\)
Отговор: Бюджетът е достатъчен за записване на 13 отбора.

Пример за приложение 2: Икономика

Автобусна компания от столичния транспорт е установила, че за осемчасов работен ден всеки от автобусите й превозва средно по хиляда пътници. За да сте в състояние да увеличите заплатата на служителите си, ще трябва да увеличите тарифата си, която в момента е $5; Икономист изчислява, че за всяко песо, с което тарифата се увеличава, всеки камион ще губи средно 40 пътника всеки ден. Компанията е изчислила, че за да покрие увеличението на заплатата, трябва да получава допълнително $760 на камион всеки ден.С колко трябва да се увеличи цената?

Постановка на проблема: Нека \(x\) е количеството песо, в което билетът ще се повиши, за което \(5 + x\) е новата цена на билета. Със същото увеличение всеки камион ще превозва средно \(1000 – 40x\) пътници на ден.

И накрая, приходите на камион са:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \вдясно)\)

За да покрие увеличението на заплатата, всеки автобус трябва да събере: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Накрая имаме уравнението:

\( – 40\наляво( {x + 5} \вдясно)\наляво( {x – 25} \вдясно) = 5760\)

решение на уравнението
\( – 40\вляво( {x + 5} \вдясно)\вляво( {x – 25} \вдясно) = 5760\) Първоначална ситуация
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Разделете на \( – 40\) всяка страна на уравнението
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Забележителният продукт е разработен
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 бяха добавени към всеки
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Имаме \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ дясно) = 19\) и \( – 19 – 1 = – 20\)
факторизирани
Решения на уравнението \(n = 1,19\)
Отговор: Цената на билета може да се покачи с $1 или $19 песо.

Пример за приложение 3: Икономика

Един магазин за хляб продава средно 1200 кифли на седмица за 6 долара всяка. Един ден той реши да вдигне цената до $9 на парче; сега продажбите й са намалели: тя продава само средно 750 ролки на седмица. Каква трябва да бъде цената на всяка кифла, така че приходите на аутлета да са възможно най-високи? Да приемем, че съществува линейна зависимост между търсенето и цената.

Постановка на проблема: Ако приемем, че има линейна зависимост между търсенето D и цената \(x,\), тогава

\(D = mx + b\)

Когато \(x = 6;D = 1200;\;\), което генерира уравнението:

\(1200 = 6m + b\)

Когато \(x = 9;D = 750;\;\) lo и се получава уравнението:

\(750 = 9m + b\)

Решавайки системата от уравнения, връзката между търсене и цена е:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\наляво( {x – 14} \вдясно)\)

Доходът е равен на

\(I\left( x \right) = Dx = – 150x\left( {x – 14} \right)\)

Решение

Графиката на дохода в парабола, която се отваря надолу и максималната й стойност се достига на върха на което може да се намери чрез осредняване на корените на квадратичната функция, която моделира доходи. Корените са \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

Отговор

Максималният приход е $7350 и се постига при цена от $7; продавайки средно 1050 ролки на седмица.

Пример за приложение 4: Икономика

Разходите за производство на \(n\) стола за един ден могат да бъдат изчислени с квадратичната функция:

\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Определете минималните разходи, които могат да бъдат постигнати.

Постановка на проблема

Графиката на \(C\left( n \right)\) е парабола, която се отваря нагоре и ще достигне минималната си точка при \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ ляво( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Отговор

Най-ниската възможна цена се равнява на $3000 и се постига чрез производството на 100 стола.

Пример за приложение 5: Геометрия

Ромбът има площ от 21 cm2; Ако сборът от дължините на неговите диагонали е 17 cm, каква е дължината на всеки диагонал на ромба?

Постановка на задача: Площта на ромб се изчислява с:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

С \(D\) и \(d\) дължините на неговите диагонали също е известно:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Чрез заместване получавате:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Накрая получаваме уравнението

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Решение
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Първоначална ситуация
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Умножете по \( – 40\) всяка страна на уравнението
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Продуктът е разработен.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Имаме \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ дясно) = 42\) и \( – 14 – 3 = – 17\)
факторизирани
Решения на уравнението \(d = 3.14\)
Отговор:

Диагоналите на ромба са 14 cm и 3 cm.

Пример за приложение 6: Геометрия

Желателно е изграждането на правоъгълен кокошарник от 140 м2, като се възползвате от доста дълга ограда, която ще оформи дъното на кокошарника. Другите три страни ще бъдат изградени с 34 линейни метра телена мрежа, колко трябва да бъде дължината и ширината на кокошарника, за да се използва цялата мрежа?

При еднакви условия каква е максималната площ, която може да се огради със същата мрежа?

Постановка на задачата: Според диаграмата площта е равна на:

\(A\left( x \right) = x\left( {34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

Където \(x\) е дължината на страната, перпендикулярна на оградата.

За да знаете измерванията на правоъгълника, така че да има площ от 140 m2, е достатъчно да решите уравнението

\(2x\ляво( {17 – x} \дясно) = 140\)

Тъй като графиката на \(A\left( x \right)\) е парабола, която се отваря надолу, за да се изчисли максималната стойност на площта, достатъчно е да се изчисли върха на параболата.

Отговори
Размери на правоъгълник с площ 140 m2
Дължина на страната, перпендикулярна на оградата

\(x\) Дължина на страната, успоредна на оградата

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Първата координата на върха е \(h = \frac{{17}}{2}\) и

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Площта е максимална, когато перпендикулярната страна е с размери \(\frac{{17}}{2}\;\)m, а успоредната страна е с размери 17m, тя е с размери 17m, стойността на максималната достигната площ е \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Графика на квадратична функция

От геометрична гледна точка корените са точките, в които графиката на функция пресича оста \(x\).

От израза

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Ще установим общия вид на графиката на квадратична функция.

Първи случай \(a > 0\) и \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(х\)	\(f\наляво( x \надясно)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

В този случай графиката удовлетворява:

Симетричен: С ос на симетрия \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Това е \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \вдясно)\)

Той е над оста \(x\) и не я пресича. Тоест, \(f\left( x \right) > 0\) няма реални корени.

Най-ниската точка на графиката е в точка \(\left( {h, k} \right)\). Това е \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Втори случай \(a < 0\) и \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(х\)	\(f\наляво( x \надясно)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

В този случай графиката удовлетворява:

Симетричен: С ос на симетрия \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Това е \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \вдясно)\)

Тя е под оста \(x\) и не я пресича. Тоест, \(f\left( x \right) < 0\) няма реални корени. Най-високата точка на графиката е в точка \(\left( {h, k} \right)\). Това е \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Трети случай \(a > 0\) и \(k \le 0\).

Този случай е подобен на първия случай, разликата е, че сега имаме един реален корен (когато \(k = 0\) ) или два реални корена.

В този случай графиката удовлетворява:

Симетричен: С ос на симетрия \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Това е \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \вдясно)\)

Той пресича оста \(x\), т.е. има поне един реален корен.

Най-ниската точка на графиката е в точка \(\left( {h, k} \right)\). Това е \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Четвърти случай \(a < 0\) и \(k \ge 0\). Този случай е подобен на втория случай, разликата е, че сега имаме един реален корен (когато \(k = 0\) ) или два реални корена. В този случай графиката удовлетворява:

Симетричен: С ос на симетрия \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Това е \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \вдясно)\)

Най-ниската точка на графиката е в точка \(\left( {h, k} \right)\). Това е \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Графиката на квадратична функция се нарича парабола и нейните елементи, които трябва да се подчертаят, са оста на симетрия, точките, в които се пресича към оста \(x\) и върха, който е точката на графиката на функцията, където тя достига най-ниската или най-високата си точка в зависимост от случай.

Въз основа на направения анализ можем да кажем:

Параболата, свързана с квадратичната функция \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) има своя връх в \(\left( {h, k} \right)\), където :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

примери

Квадратична функция \(y = {x^2}\)	важни елементи
Връх на параболата	\(\ляво( {0,0} \дясно)\)
Ос на симетрия на параболата	\(x = 0\)
Пресича с оста \(x\).	\(\ляво( {0,0} \дясно)\)

Квадратична функция \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	важни елементи
Връх на параболата	\(\ляво( {2,0} \дясно)\)
Ос на симетрия на параболата	\(x = 2\)
Пресича с оста \(x\).	\(\ляво( {2,0} \дясно)\)

Квадратична функция \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	важни елементи
Връх на параболата	\(\ляво( { – 2, – 4} \дясно)\)
Ос на симетрия на параболата	\(x = – 2\)
Пресича с оста \(x\).	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Квадратична функция \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	важни елементи
Връх на параболата	\(\ляво( {9,8} \дясно)\)
Ос на симетрия на параболата	\(x = 9\)
Пресича с оста \(x\).	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Квадратична функция \(y = {x^2} + 1\)	важни елементи
Връх на параболата	\(\ляво( {0,1} \дясно)\)
Ос на симетрия на параболата	\(x = 0\)
Пресича с оста \(x\).	Не притежава

Квадратична функция \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	важни елементи
Връх на параболата	\(\ляво( {2, – 1} \дясно)\)
Ос на симетрия на параболата	\(x = 2\)
Пресича с оста \(x\).	Не притежава

Ако реалните корени на квадратична функция съществуват, можем да начертаем свързаната с нея парабола от тях. Да предположим, че \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

За целта трябва да се вземе предвид следното:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Като

\(k = f\ляво( h \дясно)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ бета } \вдясно)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

примери

Скицирайте графиката на квадратичната функция \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Решение

Корените са \(\alpha = 3\;\) и \(\beta = – 6\); тогава \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Така че можем да съставим следната таблица

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	важни елементи
Връх на параболата	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Ос на симетрия на параболата	\(x = – \frac{{{81}}{2}\)
Пресича с оста \(x\).	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

За да начертаете графиката на функцията:

\(f\наляво( x \надясно) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Ще използваме същите идеи, които вече сме използвали; За това първо ще определим върха.

В този случай \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Тъй като \(a > 0\), параболата „ще се отвори и \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) След това ще изчислим \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Върхът на параболата е в \(\left( {3, – 23} \right)\) и тъй като се отваря нагоре, тогава параболата ще пресича оста \(x\;\) и нейната ос на симетрия е \ (x = 3\).

Сега нека разгледаме квадратичната функция

\(f\наляво( x \надясно) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

В този случай \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Тъй като \(a < 0\), параболата ще се „отвори“ надолу и \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A След това ще изчислим \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ дясно) - 9 = - 4\) Върхът на параболата е в \(\left( {1, - 4} \right)\) и тъй като се отваря надолу, тогава параболата няма да пресича оста \(x\;\) и нейната ос на симетрия е \(x = 1.\)