Дефиниция на смесени, единични, хомогенни и хетерогенни фракции

Смесени. Смесената дроб се състои от цяло число, по-голямо или равно на единица, и правилна дроб, общият правопис на дроб смесен е във формата: \(a + \frac{c}{d},\), чието компактно писане е: \(a\frac{c}{d},\;\), тоест: \(a\ фракция{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Числото \(a\) се нарича цяла част от смесената дроб, а \(\frac{c}{d}\) се нарича нейната дробна част.

хомогенен. Ако две или повече дроби имат еднакъв знаменател, се казва, че са като дроби. Например дробите \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) са хомогенни, защото всички имат един и същ знаменател, който в този случай е \(4\). Докато дробите \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) не са хомогенни дроби, тъй като знаменателят на \(\frac{5}{2}\) е \(2\), а знаменателят на другите дроби е \(4\). Едно от предимствата на хомогенните дроби е, че аритметичните операции събиране и изваждане на функции са много прости.

разнородни. Ако две или повече дроби, поне две от тях нямат един и същ знаменател, тогава тези дроби се наричат ​​разнородни дроби. Следните фракции са разнородни: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

унитарен. Една дроб се идентифицира като единица, ако числителят е равен на 1 \(1,\) \(2\). Следните дроби са примери за единични дроби: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Словесно изразяване на смесена дроб

смесена фракция	Словесно изразяване
\(3\frac{1}{2} = \)	Три и половина цели
\(5\frac{3}{4} = \)	Пет цели числа и три четвърти
\(10\frac{1}{8} = \)	Десет цели числа с една осма

Преобразуване на смесена дроб в неправилна дроб

Смесените дроби са полезни за оценка, например, лесно е да се установи:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Смесените дроби обаче обикновено са непрактични за извършване на операции като умножение и деление, поради което е важно как да се преобразуват в смесени дроби.

Предишната фигура представлява смесената дроб \(2\frac{3}{4}\), сега всяко цяло число е съставено от четири четвърти, така че в 2 цели числа има 8 четвърти и към тях трябва да добавим останалите 3 четвърти, т.е. казвам:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

В общи линии:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Следната таблица показва други примери.

смесена фракция	Операции за извършване	неправилна дроб
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\наляво( 2 \вдясно) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\наляво( 8 \вдясно) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Преобразуване на неправилна дроб в смесена дроб

За да преобразувате неправилна дроб в смесена дроб, изчислете частното и остатъка от деленето на числителя на знаменателя. Полученото частно ще бъде цялата част от смесената дроб, а правилната дроб ще бъде \(\frac{{{\rm{остатък}}}}{{{\rm{знаменател}}}}\)

Пример

За да преобразувате \(\frac{{25}}{7}\) в смесена дроб:

За извършените операции получаваме:

Таблицата по-долу показва други примери.

неправилна дроб	Изчисляване на частното и остатъка	неправилна дроб
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Ежедневно използване на смесени и правилни дроби

В ежедневието трябва да измерваме, купуваме, сравняваме цени, предлагаме отстъпки; за измерване имаме нужда от мерни единици и те не винаги предлагат цели единици от продуктите и не винаги плащате с цяло количество монети на единица.

Например обичайно е някои течности да се продават в контейнери, чието съдържание е \(\frac{3}{4}\;\) от литър, половин галон или галон и половина. Може би, когато отидете да си купите тръба, ще поискате \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) и не е необходимо да казвате мерната единица, която в този случай е инчът.

Основни операции с подобни дроби

Сумата от \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{4}\) е илюстрирана в следната схема:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Докато изваждането се извършва по следния начин:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Като цяло, за хомогенни фракции:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{{a – b}}{d}\)

Египтяните и единичните дроби

Египетската култура постигна забележително технологично развитие и това нямаше да се случи без развитие наравно с математиката. Има исторически следи, където можете да намерите записи за използването на дроби в египетската култура, с особеност, че те са използвали само единични дроби.

Има няколко случая, в които записването на дроб като сбор от единични дроби е толкова просто, колкото

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

В случай, че \(n = 2q + 1\), тоест странно, имаме това:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Ще илюстрираме това с два примера.

За да изразите \(\frac{2}{{11}}\); в този случай имаме \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), следователно:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

тоест,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

За да изразите \(\frac{2}{{17}}\); в този случай имаме \(17 = 2\вляво( 8 \вдясно) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

След това показваме някои дроби като сбор от единични дроби,

Фракция	Изразяване като сбор от единични дроби	Фракция	Изразяване като сбор от единични дроби
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Използвайки предишната таблица, можем да събираме дроби и да изразяваме такива суми; като сбор от единични дроби.

Примери за хетерогенни фракции

Пример 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Пример 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

И накрая, можем да изразим същата дроб като сбор от единични дроби по различен начин като:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)