Дефиниция на еквивалентни дроби

Две или повече дроби се наричат ​​еквивалентни, ако представляват едно и също количество, т.е. ако
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
се казва, че дробите \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) са еквивалентни.

Еквивалентни дроби: Графично представяне

Помислете за квадрата, който ще разделим на четвърти, трети, осми и дванадесети.

От предишните фигури забелязваме следните еквивалентности:

Как да се получи една или няколко еквивалентни дроби?

Има два основни метода за получаване на дроб, еквивалентна на дадена дроб.

1. Умножете числителя и знаменателя по едно и също положително число.

Примери:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Дели се на същия положителен общ делител на числителя и знаменателя.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{{52 ​​\div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Когато в една дроб и числителят, и знаменателят са разделени на един и същ общ делител, различен от 1, се казва, че дробта е намалена.

несъкратими дроби

Дробта се нарича несъкратима дроб, ако най-големият общ делител на числителя и знаменателя е равен на 1.

Ако \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) дробта \(\frac{a}{b}\) се нарича несъкратима дроб.

Дадена е дроб \(\frac{a}{b}\), за да се получи дроб, еквивалентна на тази дроб и която също е несъкратима дроб числителят и числителят се делят на най-големия общ делител на \(a\;\) и на \(б.\)

Следната таблица показва примери за несъкратими и съкратими дроби; ако е съкратим, той показва как да се получи несъкратима еквивалентна дроб.

Фракция	Най-голям общ делител	Нередуцируем	несъкратима еквивалентна дроб
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Не	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	да	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Не	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	да	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Не	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Еквивалентни дроби: словесно представяне.

Следващата таблица показва два различни начина за показване на еквивалентна информация от цифрова гледна точка.

Словесна фраза	Еквивалентна фраза (числово)	Аргументация
През 1930 г. в Мексико 4 души от 25 души говорят роден език.	През 1930 г. в Мексико 16 души от 100 души говорят роден език.	И двете данни бяха умножени по 4
През 1960 г. в Мексико 104 души от всеки 1000 души говорят роден език.	През 1960 г. в Мексико 13 души от 125 души говорят роден език	И двете данни бяха разделени на 8.

Еквивалентни дроби: десетично представяне

Таблицата по-долу показва различни десетични числа и еквивалентни дроби, които ги представляват.

Десетично число	Фракция	еквивалентна дроб	Операции
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Еквивалентни дроби: Представяне като процент

Таблицата по-долу показва различни десетични числа и еквивалентни дроби, които ги представляват.

Десетично число	Фракция	еквивалентна дроб	Операции
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Еквивалентни дроби: от хетерогенни към хомогенни

Дадени са две разнородни дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\), можем да намерим две дроби хомогенни по такъв начин, че едната дроб е еквивалентна на дробта \(\frac{a}{b}\;\), а другата на \(\frac{c}{d}\).

След това ще покажем две процедури за изпълнение на споменатото в предишния параграф.

Нека наблюдаваме:

\(\frac{a}{b} = \frac{{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Следната таблица показва някои примери.

Е. разнородни	Операции	Е. хомогенен
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{{120}}{{{560}},\) \(\frac{{{700}}{{560}}\)

Недостатъкът на този метод е, че в процеса могат да бъдат произведени много големи количества; В много случаи е възможно да се избегне, ако се изчисли най-малкото общо кратно на знаменателите и вторият метод се основава на изчисляването на най-малкото общо кратно.

Най-малко общо кратно при изчисляване на дроби

След това, чрез два примера, как да се получат хомогенни дроби, като се използва най-малкото общо кратно на знаменателите, което ще бъде общият знаменател на участващите дроби.

Помислете за дробите: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Най-малкото общо кратно на \(12\) и \(18\) е \(36\); сега

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Сега разгледайте дробите: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Най-малкото общо кратно на \(10\), \(14\) и \(3\) е \(140\); сега

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

От предишните цифри забелязваме следния факт:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Ето и други примери.

Е. разнородни	мин общи знаменатели	Операции	Е. хомогенен
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{{30}}{{90}}\), \(\frac{{{40}}{{90}}\)