Дефиниция на квадратно/четвъртично уравнение

Уравнение от втора степен или, ако това не е така, квадратно, по отношение на неизвестно, се изразява във формата:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Където неизвестното е \(x\), стига \(a, b\) и c да са реални константи, с \(a \ne 0.\)

Има няколко техники за решаване на квадратни уравнения, включително факторизиране, в който случай трябва да вземем предвид следното свойство според резолюцията:

Ако произведението на две числа е нула, тогава има две възможности:

1. И двете са равни на нула.
2. Ако едното е различно от нула, то другото е нула

Горното може да се изрази по следния начин:
Ако \(pq = 0\), тогава \(p = 0\) или \(q = 0\).

Практически пример 1: решете уравнението \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Първоначална ситуация
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Добавете 8 към двете страни на уравнението, за да решите \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Квадратният корен се получава, като се търси изолиране на \(x.\) instagram story viewer 8 се разлага на множители и се прилагат свойствата на радикалите и степените.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Получавате корена на \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Решенията на \({x^2} – 8\)=0 са:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Практически пример 2: Решете уравнението \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Първоначална ситуация
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Корен квадратен от 144 е 12. Идентифицирана е разлика от квадрати.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Разликата на квадратите е факторизирана
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Разглеждаме възможността факторът \(x + 12\) да е равен на 0. Полученото уравнение се решава.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Разглеждаме възможността факторът \(x – 12\) да е равен на 0. Полученото уравнение се решава.

Решенията на уравнението \({x^2} – 144 = 0\) са

\(x = – 12,\;12\)

Практически пример 3: решете уравнението \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Първоначална ситуация
\(x\наляво( {x + 3} \надясно) = 0\)	\(x\) се идентифицира като общ фактор и факторизирането се извършва.
\(x = 0\)	Разгледайте възможността факторът \(x\) да е равен на 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Разглеждаме възможността факторът \(x – 12\) да е равен на 0. Полученото уравнение се решава.

Решенията на уравнението \({x^2} + 3x = 0\), са:
\(x = – 3,0\)

Практически пример 4: Решете уравнението \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Първоначална ситуация
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Корен квадратен от 49 е 7 и \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Идентифициран е перфектен квадратен трином.
\({\наляво( {x – 7} \надясно)^2} = 0\)	Перфектният квадратен трином се изразява като квадратен бином.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Решението на \({x^2} – 14x + 49 = 0\) е:
\(x = 7\)

Практически пример 5: Решете уравнението \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Първоначална ситуация
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Продуктът \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\ляво( {10{x^2} – 8x} \дясно) – 15x + 12 = 0\)	Изразява се като \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\наляво( {5x – 4} \вдясно) – 3\наляво( {5x – 4} \вдясно) = 0\)	Идентифицирайте \(2x\) като общ множител в първото събираемо и го разложете на множители. Идентифицирайте \( – 3\) като общ множител във второто събираемо и го разложете на множители.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Разложете на множители общия множител \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Разглеждаме възможността факторът \(5x – 12\) да е равен на 0. Полученото уравнение се решава.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Разгледайте възможността факторът \(2x – 3\) да е равен на 0. Полученото уравнение се решава.

Решенията на \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) са:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Практически пример 6: Решете уравнението \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Първоначална ситуация Тричленът не е перфектен квадрат
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Добавете -1 към всяка страна на уравнението.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Тъй като \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) чрез добавяне на \({2^2}\), получаваме перфектен квадрат.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Добавете \({2^2}\;\) към всяка страна на уравнението. Лявата страна е идеален квадрат.
\({\наляво( {x + 2} \надясно)^2} = 3\)	Перфектният квадратен трином се изразява като квадратен бином.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Вземете корен квадратен от всяка страна на уравнението
\(\ляво| {x + 2} \дясно| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Решете за \(x\).

Решенията на \({x^2} + 4x + 1 = 0\) са:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Практически пример 7: Решете уравнението \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Първоначална ситуация Тричленът не е перфектен квадрат.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Добавете 1 към всяка страна на уравнението
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Умножете по всяка страна на уравнението, така че коефициентът на \({x^2}\) да е равен на 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	продуктът се разпространява Тъй като \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), чрез добавяне на \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) дава перфектен квадратен трином.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Добавете 3 към двете страни на уравнението, за да решите \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Перфектният квадратен трином се изразява като кубичен бином.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Вземете корен квадратен от всяка страна на уравнението
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Решете за \(x\).

Решенията на \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) са:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Процедурата, използвана в горното уравнение, ще бъде използвана за намиране на това, което се нарича обща формула за квадратични решения.

Обща формула на уравнение от втора степен.

Обща формула на квадратни уравнения

В този раздел ще открием как да решим по общ начин квадратно уравнение

С \(a \ne 0\) нека разгледаме уравнението \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Тъй като \(a \ne 0\) е достатъчно да се реши:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Първоначална ситуация
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Добавете \( – \frac{c}{a}\) към всяка страна на уравнението.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Тъй като \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), чрез добавяне на \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) дава перфектен квадратен трином.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Лявата страна на уравнението е перфектен квадратен трином.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Перфектният квадратен трином се изразява като квадратен бином. Алгебричната дроб е готова.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Вземете корен квадратен от всяка страна на уравнението.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Прилагат се радикални свойства.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Прилагат се свойства с абсолютна стойност.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Към всяка страна на уравнението добавете \( – \frac{b}{{2a}}\), за да решите \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Алгебричната дроб е готова.

Членът \({b^2} – 4{a^2}c\) се нарича дискриминант на квадратното уравнение \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Когато дискриминантът на горното уравнение е отрицателен, решенията са комплексни числа и няма реални решения. Сложните решения няма да бъдат обхванати в тази бележка.

Дадено е квадратното уравнение \(a{x^2} + bx + c = 0\), ако \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Тогава решенията на това уравнение са:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Изразът:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Нарича се обща формула на квадратното уравнение.

Практически пример 8: решете уравнението \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(да се\)	\(b\)	\(° С\)	Дискриминиращ	реални решения
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\наляво( 3 \вдясно)\наляво( { – 5} \вдясно) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Решенията на уравнението са:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Практически пример 9: Решете уравнението \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(да се\)	\(b\)	\(° С\)	Дискриминиращ	реални решения
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\наляво( { – 4} \вдясно)\наляво( 9 \вдясно) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\вляво( {17} \вдясно)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Решенията на уравнението са:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Практически пример 10: Решете уравнението \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(да се\)	\(b\)	\(° С\)	Дискриминиращ	реални решения
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Не притежава

Разни уравнения

Има неквадратни уравнения, които могат да бъдат преобразувани в квадратно уравнение. Ще видим два случая.

Практически пример 11: Намиране на реалните решения на уравнението \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

При промяна на променлива \(y = \sqrt x \), предишното уравнение остава като:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Следователно \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Тъй като \(\sqrt x \) обозначава само положителни стойности, ние ще разгледаме само:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Отговор:

Единственото истинско решение е:
\(x = \frac{1}{9}\)

Работен пример 12: Решете уравнението \(\sqrt {\frac{x}{{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Извършване на промяна на променлива:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Получаваме уравнението:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

Възможните стойности на \(y\) са:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

От горното ще разгледаме само положителното решение.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Решенията са \(x = 9.\)