Как се дефинира теоремата на Талес?

От теоремата на Талес, дадени няколко успоредни прави, се казва, че правата \(T\) е напречна на успоредните прави, ако пресича всяка от успоредните прави.

На фигура 1 линиите \({T_1}\) и \({T_2}\) са напречни на успоредните прави \({L_1}\) и \({L_2}.\)

Теорема на Талес (слаба версия)
Ако няколко паралела определят конгруентни сегменти (които измерват същото) в една от двете им напречни линии, те също ще определят конгруентни сегменти в другите напречни линии.

На фигура 2 черните линии са успоредни и вие трябва:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Можем да гарантираме следното:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Говори се, че мъдрият Талес от Милет измерва височината на пирамидата на Хеопс, за това той използва сенките и прилагането на свойства на подобие на триъгълник. Теоремата на Талес е фундаментална за развитието на концепцията за подобие на триъгълници.

Съотношения и свойства на пропорциите

Едно съотношение е частното от две числа, като делителят е различен от нула; тоест:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{с\;}}b \ne 0\)

Пропорцията е равенството на две съотношения, тоест:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) се нарича още константа на пропорционалността.

Свойства на пропорциите

Ако \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), тогава за \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = к\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{{c \pm d}}{d}\)

примери

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

За двойката отсечки \(\overline {AB} \) и \(\overline {CD} \) се казва, че са пропорционални на отсечките \(\overline {EF} \) и \(\overline {GH} \) ако пропорцията е изпълнена:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Където \(AB\;\) означава дължината на сегмента \(\overline {AB} .\)

Теорема на Талес

Връщайки се към определението, няколко паралела определят пропорционални съответстващи сегменти в техните напречни линии.

На фигура 3 правите линии са успоредни и можем да гарантираме:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Нека отбележим, че първите две предходни пропорции са еквивалентни на следните пропорции:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)От по-горе получаваме:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

В много случаи е по-добре да работите с предишните пропорции и в този случай:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Обратно на теоремата на Талес

Ако няколко прави определят пропорционални съответни отсечки в напречните си линии, то линиите са успоредни

Ако на фигура 4 е изпълнено

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Тогава можем да потвърдим, че: \({L_1}\паралел {L_2}\паралел {L_3}.\)

Нотацията \({L_1}\parallel {L_2}\), прочетена \({L_1}\) е успоредна на \({L_2}\).

От предишната пропорция получаваме:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Разделяне на отсечка на няколко части с еднаква дължина

Чрез конкретен пример ще илюстрираме как да разделим отсечка на части с еднаква дължина.

Разделете сегмента \(\overline {AB} \) на 7 сегмента с еднаква дължина

Първоначална ситуация

Начертайте спомагателна линия, която минава през един от краищата на сегмента

С помощта на компас върху спомагателната линия се начертават 7 отсечки с еднаква дължина

Начертайте линията, която свързва краищата на последния начертан сегмент и другия край на сегмента, който ще бъде разделен

Те са начертани успоредно на последната току-що начертана линия, която минава през точките, където дъгите на обиколката се пресичат със спомагателната линия.

При дадена отсечка \(\overline {AB} \), се казва, че точка \(P\) от отсечката разделя отсечката \(\overline {AB} \), в съотношението \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Разделяне на сегмент в дадено отношение

Даден е сегмент \(\overline {AB} \) и две положителни цели числа \(a, b\); точката \(P\), която разделя сегмента в съотношението \(\frac{a}{b};\;\), може да се намери както следва:

1. Разделете сегмента \(\overline {AB} \) на \(a + b\) сегменти с еднаква дължина.
2. Вземете \(a\) сегменти, броени от точка \(A\).

примери

Деление на отсечката \(\overline {AB} \) в съотношението \(\frac{a}{b}\)

Причина	Броят на частите, на които е разделен сегментът	Местоположение на точка \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Приложни примери на теоремата на Талес

приложение 1: Три лота се простират от улица Sol до улица Luna, както е показано на фигура 5.

Страничните граници са сегменти, перпендикулярни на Luna Street. Ако общото лице на парцелите на улица Сол е 120 метра, определете лицето на всеки парцел на посочената улица, ако също е известно:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Постановка на проблема

Тъй като линиите са перпендикулярни на Luna Street, тогава те са успоредни една на друга, чрез прилагане на теоремата на Талес можем да потвърдим:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)От горното можем да заключим:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

По подобен начин можем да заключим:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Решение

За да определим константата на пропорционалността \(k,\), ще използваме свойствата на пропорциите:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

От горното получаваме:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\ляво( {10} \дясно) = 12.\)

Аналогично:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Отговор

сегмент	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Дължина	12м	48м	24м	36м

приложение 2: Графичен дизайнер е проектирал рафт във формата на успоредник и ще постави 3 рафта, както е показано на Фигура 6, точките E и F са средните точки на страните \(\overline {AD} \) и \(\overline {BC} ,\) съответно. Трябва да направите разрези в рафтовете, за да можете да направите сглобките. В коя част на рафтовете трябва да се направят разрезите?

Постановка на проблема: Поради условията, които са дадени в проблема, е изпълнено следното:

\(ED = EA = CF = BF\)

Като спомагателни конструкции ще разширим страните \(\overline {CB} \) и \(\overline {DA} \). Прекарва се права през точка A през \(A\) и успоредна на страната \(\overline {EB} \) и през точката \(C\;\) се прекарва права успоредна на страната \(\overline {DF} \).

Ще използваме обратното на теоремата на Талес, за да покажем, че сегментите \(\overline {EB} \) и \(\overline {DF} \) са успоредни, за да приложим теоремата на Талес.

Решение

По конструкция четириъгълникът \(EAIB\) е успоредник, така че имаме, че EA=BI, тъй като те са противоположни страни на успоредник. Сега:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Прилагайки реципрочната реципрочна на теоремата на Талес можем да заключим:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Вземайки отсечките \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) и отсечките BC и CI като техни напречни; като:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Вземайки \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) и отсечките \(\overline {AC} \) и \(\overline {EB} \) като техни трансверсали, ще имаме:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

По същия начин е показано, че:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Отговори

Диагоналните разрези \(\overline {AC} \) трябва да бъдат направени в точки \(G\;\) и \(H\), така че:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Същото важи и за рафтовете \(\overline {EB} \) и \(\overline {DF} \).