Определение за рационализация на радикалите (математика)

Рационализирането на радикалите е математически процес, който се извършва, когато в знаменателя има частно с радикали или корени. По този начин могат да бъдат улеснени математическите операции, когато са включени частни с радикали и други видове математически обекти.

Видове частни с радикали

Важно е да споменем някои видове коефициенти с радикали, които могат да бъдат рационализирани. Въпреки това, преди да навлезете изцяло в процеса на рационализиране, трябва да запомните няколко важни концепции. Първо, да предположим, че имаме следния израз: \(\sqrt[m]{n}\). Това е коренът \(m\) от числото \(n\), т.е. резултатът от споменатата операция е такова число, че повишаването му на степен \(m\) ни дава числото \(n\) в резултат на това). Степента и коренът са обратни операции по такъв начин, че: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
От друга страна, струва си да се спомене, че произведението на два равни корена е равно на корена на произведението, което означава, че: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Тези два свойства ще бъдат нашите най-добри съюзници при рационализирането.

Най-често срещаният и прост тип коефициент с радикал, който можем да намерим, е следният:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Където \(a\), \(b\) и \(c\) могат да бъдат всякакви реални числа. Процесът на рационализация в този случай се състои в намиране на начин да се получи в частното израза \(\sqrt {{c^2}} = c\), за да се отървем от радикала. В този случай е достатъчно да умножите по \(\sqrt c \) както числителя, така и знаменателя:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Спомняйки си споменатото по-горе, знаем, че \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Следователно най-накрая получаваме, че:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

По този начин сме рационализирали предишния израз. Този израз не е нищо повече от частен случай на общ израз, който е следният:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Където \(a\), \(b\), \(c\) са произволни реални числа и \(n\), \(m\) са положителни степени. Рационализирането на този израз се основава на същия принцип като предишния, тоест получаване на израза \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) в знаменателя. Можем да постигнем това, като умножим по \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) както числителя, така и знаменателя:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}} = \frac{{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Можем да развием произведението на радикалите в знаменателя, както следва: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Следователно рационализираният коефициент остава като:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – м}}}}\)

Друг тип коефициент с радикали, който може да бъде рационализиран, е този, в който имаме бином с квадратни корени в знаменателя:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Където \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\;\) са реални числа. Символът \( ± \) показва, че знакът може да бъде положителен или отрицателен. Биномът на знаменателя може да има и двата корена или само един, но ние използваме този случай, за да получим по-общ резултат. Централната идея за извършване на процеса на рационализация в този случай е същата като в предишните случаи, само това в този случай ще умножим и числителя, и знаменателя по конюгата на бинома, намерен в знаменател. Конюгатът на бином е бином, който има същите членове, но чийто централен символ е противоположен на оригиналния бином. Например, конюгатът на бинома \(ux + vy\) е \(ux – vy\). Като се има предвид това, тогава имаме:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Символът \( \mp \) показва, че знакът може да бъде положителен или отрицателен, но трябва да е противоположен на символа на знаменателя, за да бъдат спрегнати биномите. Чрез развиване на умножението на биноми на знаменателя получаваме, че:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Накрая получаваме това:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

С това сме рационализирали коефициента с радикал. Тези коефициенти с радикали са тези, които обикновено могат да бъдат рационализирани. След това ще видим някои примери за рационализиране на радикалите.

примери

Нека да разгледаме някои примери за рационализация с частни с радикали от вида, споменат по-горе. Първо да предположим, че имаме следния коефициент:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

В този случай е достатъчно да умножите числителя и знаменателя по \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Сега да предположим, че имаме следното частно с радикал:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

В този случай имаме корен шести от кубична степен. В предишния раздел споменахме, че ако имаме радикал от формата \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) в знаменател, можем да рационализираме частното, като умножим числителя и знаменателя по \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Сравнявайки това със случая, представен тук, можем да разберем, че \(n = 6\), \(c = 4\) и \(m = 3\), следователно Следователно можем да рационализираме предишното частно, като умножим числителя и знаменателя по \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

И накрая, да предположим, че имаме следната функция:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Както беше показано в предишния раздел, за да рационализирате този тип коефициент с радикали, трябва да умножите числителя и знаменателя по конюгата на знаменателя. В този случай конюгатът на знаменателя ще бъде \(x – \sqrt x \). Следователно изразът ще бъде както следва:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Развивайки умножението на спрегнатите биноми на знаменателя, накрая получаваме, че:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Препратки

Агилар Артуро, Браво Фабиан, Галегос Херман, Серон Мигел и Рейес Рикардо. (2009). Аритметика. Мексико: Pearson Education.