Определение за центростремителна сила

Центростремителна сила е сила, действаща върху обект, движещ се по извита траектория. Посоката на тази сила винаги е към центъра на кривата и е това, което задържа обекта на този път, като му пречи да продължи движението си по права линия.

Криволинейно движение и центростремителна сила

Да предположим, че имаме обект, който се движи по кръгова траектория. За да се опише криволинейното движение на това тяло, се използват ъглови и линейни променливи. Ъгловите променливи са тези, които описват движението на обекта по отношение на ъгъла, който той „помита“ по пътя си. От друга страна, линейните променливи са тези, които използват позицията му по отношение на точката на въртене и скоростта му в тангенциалната посока на крива.

Центростремителното ускорение \({a_c}\), изпитвано от обект, движещ се по траектория кръгова с тангенциална скорост \(v\) и на разстояние \(r\) от точката на въртене ще бъде дадена от:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Центростремителното ускорение е линейна променлива, която се използва за описание на криволинейно движение и е насочена към центъра на кривата траектория. От друга страна, ъгловата скорост ω на обекта, т.е. скоростта на промяна на ъгъла на завъртане (в радиани) за единица време, се дава от:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Или можем да намерим \(v\):

\(v = \omega r\)

Това е връзката, която съществува между линейната скорост и ъгловата скорост. Ако включим това в израза за центростремително ускорение, получаваме:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Вторият закон на Нютон ни казва, че ускорението на едно тяло е право пропорционално на приложената към него сила и обратно пропорционално на неговата маса. Или в най-известната му форма:

\(F = ma\)

Където \(F\) е силата, \(m\) е масата на обекта и \(a\) е ускорението. В случай на криволинейно движение, ако има центростремително ускорение, трябва да има и сила центростремително \({F_c}\), което действа върху тялото с маса \(m\) и което причинява центростремителното ускорение \({a_c}\), е казвам:

\({F_c} = m{a_c}\)

Замествайки предишните изрази за центростремителното ускорение, получаваме, че:

\({F_c} = \frac{{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Центростремителната сила е насочена към центъра на криволинейния път и е отговорна за непрекъснато променя посоката, в която се движи обектът, за да продължи да се движи извита.

Гравитацията като центростремителна сила и третият закон на Кеплер

Третият закон на Кеплер за движението на планетите гласи, че квадратът на орбиталния период, тоест времето Времето, необходимо на една планета да направи една обиколка около Слънцето, е пропорционално на куба на голямата полуос на орбита. Това е:

\({T^2} = C{r^3}\)

Където \(T\) е орбиталният период \(C\), той е константа и \(r\) е голямата полуос или максималното разстояние между планетата и Слънцето по цялата й орбита..

За простота помислете за планета с маса \(m\), движеща се по кръгова орбита около Слънцето, въпреки че този анализ може да се разшири до случая на елиптична орбита и да се получи същото резултат. Силата, която поддържа планетата в нейната орбита, е гравитацията, която ще бъде:

\({F_g} = \frac{{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Където \({F_g}\) е силата на гравитацията, \({M_S}\) е масата на Слънцето, \(G\) е универсалната гравитационна константа и \(r\) е разстоянието между планетата и слънцето. Ако обаче планетата се движи по кръгова орбита, тя изпитва центростремителна сила \({F_c}\), което го поддържа на споменатата траектория и което по отношение на ъгловата скорост \(\omega \) ще бъде дадена от:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Любопитното е, че в този случай гравитацията е онази центростремителна сила, която поддържа планетата в нейната орбита, с няколко думи \({F_g} = {F_c}\), следователно можем да кажем, че:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Което можем да опростим като:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Ъгловата скорост е свързана с орбиталния период по следния начин:

\(\omega = \frac{{{2\pi }}{T}\)

Замествайки това в предишното уравнение, получаваме, че:

\(G{M_S} = \frac{{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Пренареждайки условията, най-накрая получаваме, че:

\({T^2} = \frac{{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Последният е точно третият закон на Кеплер, който представихме по-рано, и ако сравним константата на пропорционалност, тя ще бъде \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

Ами центробежната сила?

По-обичайно е за този тип движение да се говори за „центробежна сила“, вместо за центростремителна сила. Преди всичко, защото това е, което очевидно чувстваме, когато преживяваме това. Центробежната сила обаче е фиктивна сила, произтичаща от инерцията.

Нека си представим, че се возим в кола, която се движи с определена скорост и внезапно спира. Когато това се случи, ние ще почувстваме сила, която ни тласка напред, но тази видима сила, която усещаме, е инерцията на собственото ни тяло, което иска да поддържа състоянието си на движение.

В случай на криволинейно движение центробежната сила е инерцията на тялото, което иска да поддържа своето праволинейно движение, но е обект на центростремителна сила, която го поддържа по кривата траектория.

Препратки

Дейвид Халидей, Робърт Резник и Джърл Уокър. (2011). Основи на физиката. Съединени щати: John Wiley & Sons, Inc.