Пример за пълно пространство

Математическият анализ е клонът на математическите науки, който се занимава с изучаването на пълно пространство, което е тип метрично пространство.

Метричното пространство се състои от двойки точки и функция от разстоянието между тях; в тези пространства е възможно да се определи последователност на Коши, която се формира от все по-малки разстояния между тези две точки. Когато в метричното пространство вече не е възможно да се намери по-малко разстояние в последователността, тогава имаме a пълно пространство. Затворените числови множества, т.е. тези, в които има ограничение, са пълни интервали.

Пример за пълно пространство:

Наборът от естествени числа, включително 0, е пълно пространство, тъй като този набор е затворен от крайността 0. Представянето на този набор от числа е н= [0, 1, 2,... n}.

Нека вземем всякакви две точки между два елемента от този набор, например 4 и 8, представени по следния начин p = (4, 8), функцията на разстоянието между две точки е равна на 4, последователността на Коши се дава от последователността {4, 3, 2, 1, 0}, която се сближава на 0.

Друг пример е множеството положителни реални числа, образувани с {0}, което се представя като И⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. н}, тъй като дадени две точки в това пространство, последователността на Коши ще се сближи, когато разстоянието е 0

Наборът от рационални числа не е пълно пространство, тъй като разстоянието 0 (числото 0 като число не е съществува в този набор), което прави последователността на Коши да не се сближава в нито една точка от това комплект.

Всеки затворен интервал от естествените числа е пълно пространство.