Definice neeuklidovské geometrie

V zásadě jsou neeuklidovské geometrie ty, které vyvstávají ze zpochybnění tzv Euklidův 5. postulát, proto je zásadní obecná charakteristika díla Euklida, který byl řeckým matematikem a geometrem, jehož dílo je paradigmatické pro Geometrie, být považován za jednoho z jeho zakladatelů. Je to znát s jistotou bezpečnostní který žil ve městě Alexandrii, kulturním ohnisku starověku, kolem roku 300 př. Kr. C.

Jeho práce Prvky začíná sérií „principů“, které tvoří seznam 23 definic; následuje 5 postulátů, odkazujících na postavy konkrétně geometrické; a 5 obecných axiomů, společných pro ostatní matematické disciplíny. Dále, po principech, Euclid zavádí "propozice" dvou typů: problémy, na které se odkazuje

budova postav s pravítkem a kružítkem; a teorémy, odkazující na demonstraci vlastností, které některé geometrické obrazce.

Euklidův pátý postulát

Uvádí, že „Jestliže přímka, která padá na dvě další přímky, činí vnitřní úhly téže strany menší než dvě přímky, pak, pokud jsou dvě přímky prodlouženy na neurčito, setkají se na straně, na které jsou úhly menší než dva rovný”. Pokud by byly úhly správné, pak by takové čáry podle definice č. 23 byly rovnoběžné ("Rovnoběžné čáry jsou čáry, které, pokud jsou ve stejné rovině a jsou prodlouženy na neurčito, se v žádném směru nestýkají.”).

Tento postulát, složitější než předchozí, nebyl sám o sobě nepochybný: nebylo zřejmé, že by prodlužování čáry neomezeně, protínaly by se na straně, kde úhly byly menší než dva pravé úhly, protože by to nebylo možné dokázat budova. Pak zůstala otevřená možnost, že se čáry k sobě donekonečna přibližovaly, aniž by se kdy protnuly.

Pokusy dokázat pátý postulát

Právě z tohoto důvodu probíhala od antiky až do poloviny 19. století řada neúspěšných pokusů dokázat pátý postulát: důkaz byl vždy dosažen; ale zavádí nějaký další dodatečný postulát (logicky ekvivalentní pátému), odlišný od těch Euklidových. To znamená, že pátý postulát nemohl být prokázán, ale byl nahrazen ekvivalentním.

Příkladem toho je postulát Johna Playfair (s. XVIII): “Jediný bod rovnoběžný s touto přímkou ​​prochází bodem mimo přímku, která je ve stejné rovině." (známý jako "paralelní postulát”). Neeuklidovské geometrie vznikají právě z neúspěšných pokusů dokázat pátý postulát euklidovského systému.

Saccheriho test absurdity

V roce 1733 se italský matematik Girolamo Saccheri pokusil dokázat absurditu pátého Euklidova postulátu. K tomu postavil čtyřúhelník (známý jako „Saccheriho čtyřúhelník“, ve kterém jedna dvojice úhlů jsou pravé úhly) a uvedl, že pátý postulát je ekvivalentní tvrzení, že charakteristické úhly (ti proti dvojici pravých úhlů) tohoto čtyřúhelníku jsou také pravé úhly. pak jsou tři hypotéza možné, vzájemně se vylučující: že dva charakteristické úhly jsou pravé, ostré nebo tupé. Abychom dokázali pátý postulát absurditou, bylo nutné dokázat (aniž bychom se uchýlili k pátému postuloval), že hypotézy tupého a ostrého úhlu implikovaly rozpor, a proto byly Nepravdivé.

Saccherimu se podařilo prokázat, že hypotéza tupého úhlu je rozporuplná, ale neuspěl v případě úhlu ostrého. Naopak, odvodil řadu teorémů konzistentních a neslučitelných s euklidovskou geometrií. Nakonec došel k závěru, že vzhledem k podivnosti těchto teorémů musí být hypotéza nepravdivá. Následně věřil, že dokázal pátý postulát jako absurdní; nicméně to, co udělal, bylo bezděčně prokázat důležitou sadu teorémů neeuklidovské geometrie.

„Simultánní“ objev neeuklidovských geometrií

Carl F. Gauss byl v devatenáctém století první, kdo tušil, že pátý postulát nelze dokázat z ostatních čtyř (tj. nezávisle) a při koncipování možnosti neeuklidovské geometrie, která byla založena na čtyřech euklidovských postulátech a na negaci pátý. Svůj objev nikdy nezveřejnil: toto je považováno za případ simultánní objev, protože měl tři nezávislé referenty (sám Gauss, János Bolyai a Nikolaj Lobačevskij).

Popírání k pátý zákon of Euclidean implikuje dvě možnosti (převzít ekvivalentní formulaci Playfair): přes bod mimo přímku, buď žádné paralelní průchody, nebo více než jeden paralelní průchod. Mezi neeuklidovskými geometriemi najdeme např. geometrii „imaginární“ od Lobačevského, později známého jako „hyperbolický"- podle, "Daný vnější bod k přímce, nekonečné protínající se přímky, nekonečné neprotínající se přímky a pouze dvě rovnoběžné přímky procházejí tímto bodem.“, na rozdíl od jedinečné euklidovské paralely; nebo eliptická geometrie Bernharda Riemanna, která říká, že „Bodem mimo přímku neprochází žádná rovnoběžka s touto přímkou.”.

Aplikace a důsledky objevu

V současné době je známo, že v místním prostoru dávají obě geometrie přibližné výsledky. Rozdíly se objevují, když je fyzický prostor popsán jednou nebo druhou geometrií, s ohledem na velké vzdálenosti. Přestože nadále používáme euklidovskou geometrii, protože je to ta, která nejjednodušeji popisuje náš prostor v místním měřítku, objev neeuklidovských geometrií byla rozhodující, protože znamenala radikální proměnu chápání pravd vědecký.

Do té doby se předpokládalo, že euklidovská geometrie skutečně popisuje prostor. Při dokazování možnosti popsat ji jinou geometrií, jinými postuláty, bylo nutné přehodnotit kritéria, podle kterých bylo možné předpokládat to či ono vysvětlení jako např.skutečný”.

Bibliografie

MARTINEZ LORCA, A. (1980) „Etika Sokrata a její vliv na myslel Occidental“, v Revista Baética: Estudios de Arte, Zeměpis a historie, 3, 317-334. Univerzita v Malaze.

Témata v neeuklidovské geometrii