Co jsou Maxwellovy rovnice a jak jsou definovány?

Angel Zamora Ramirez | července 2022
Titul z fyziky

Před těmito rovnicemi bylo řečeno, že elektrické a magnetické síly jsou „síly na dálku“, nebyly známy žádné fyzikální prostředky, pomocí kterých by k tomuto typu interakce došlo. Po mnoha letech výzkumu na elektřina Y magnetismusMichael Faraday tušil, že v prostoru mezi náboji a elektrickými proudy by muselo být něco fyzického, co by jim umožnilo vzájemně se ovlivňovat a projevovat všechny elektrické a magnetické jevy, které byly známé, nejprve je označil jako „siločáry“, což vedlo k myšlence existence elektromagnetického pole.

James Clerk Maxwell na základě Faradayovy myšlenky rozvíjí teorii pole reprezentovanou čtyřmi parciálními diferenciálními rovnicemi. Maxwell to nazval „elektromagnetickou teorií“ a jako první začlenil tento typ matematického jazyka do fyzikální teorie. Maxwellovy rovnice v jejich diferenciálním tvaru pro vakuum (to znamená v nepřítomnosti dielektrika a/nebo polarizovatelných materiálů) jsou následující:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\částečné \vec{B}}{\částečné t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\částečný \vec{E}}{\částečný t}\)
Maxwellovy rovnice pro vakuum v jeho diferenciálním tvaru

Kde \(\vec{E}~\)je elektrické pole, \(\vec{B}~\)je magnetické pole, \(\rho ~\)je hustota elektrický náboj, \(\vec{J}~~\)je vektor spojený s a elektrický proud, \({{\epsilon }_{0}}~\)je elektrická permitivita vakua a \({{\mu }_{0}}~~\)je magnetická permeabilita vakua. Každá z těchto rovnic odpovídá a zákon elektromagnetismu a má svůj význam. Níže stručně vysvětlím každou z nich.

Gaussův zákon

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gaussův zákon pro elektrické pole

Tato první rovnice nám říká, že elektrické náboje jsou zdroji elektrického pole, toto elektrické pole „odbíhá“ přímo od nábojů. Kromě toho je směr elektrického pole dán znaménkem elektrického náboje, který jej vytváří, a jak blízko jsou siločáry, ukazuje velikost samotného pole. Níže uvedený obrázek poněkud shrnuje to, co bylo právě zmíněno.

Obrázek 1. Ze Studiowork.- Diagram elektrických polí generovaných dvěma bodovými náboji, jedním kladným a jedním záporným.

Tento zákon vděčí za svůj název matematikovi Johannu Carlu Friedrichu Gaussovi, který jej formuloval na základě své věty o divergenci.

Gaussův zákon pro magnetické pole

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gaussův zákon pro magnetické pole

Tento zákon nemá konkrétní název, ale nazývá se tak kvůli jeho podobnosti s předchozí rovnicí. Význam tohoto výrazu je, že neexistuje žádný „magnetický náboj“ analogický „elektrickému náboji“, to znamená, že neexistují žádné magnetické monopóly, které jsou zdrojem magnetického pole. To je důvod, proč když rozlomíme magnet na polovinu, budeme mít stále dva podobné magnety, oba se severním a jižním pólem.

Faradayův zákon

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\částečné \vec{B}}{\částečné t}\)
Faradayův indukční zákon

Toto je slavný indukční zákon formulovaný Faradayem, když v roce 1831 zjistil, že měnící se magnetická pole jsou schopna indukovat elektrické proudy. Tato rovnice znamená, že magnetické pole, které se mění s časem, je schopné indukovat kolem něj vzniká elektrické pole, které zase může způsobit pohyb elektrických nábojů a vytvořit a proud. Ačkoli to na první pohled může znít velmi abstraktně, za fungováním motorů, elektrických kytar a indukčních varných desek stojí Faradayův zákon.

Zákon Ampère-Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\částečný \vec{E}}{\částečný t}\)

První věc, kterou nám tato rovnice říká, je, že elektrické proudy generují magnetická pole kolem směru proudu a to velikost generovaného magnetického pole závisí na velikosti tohoto, to bylo to, co Oersted pozoroval a že později byl Ampère schopen formulovat. Za touto rovnicí je však něco kuriózního, a to druhý člen na straně zákon rovnice zavedl Maxwell, protože tento výraz byl původně nekonzistentní u ostatních to zejména vedlo k porušení zákona zachování elektrického náboje. Aby se tomu Maxwell vyhnul, jednoduše zavedl tento druhý termín, aby celá jeho teorie byla konzistentní, tento termín dostal název „výtlačný proud“ a v té době neexistoval žádný experimentální důkaz, který by to podporoval. bude zálohovat

Ilustrace 2. De Rumruay.- Elektrický proud protékající kabelem vytváří kolem něj magnetické pole podle Ampérova zákona.

Význam posuvného proudu je stejný jako u magnetického pole proměnná indukuje elektrické pole, elektrické pole, které se mění s časem, je schopné generovat pole magnetický. Prvním experimentálním potvrzením posuvného proudu bylo prokázání existence elektromagnetické vlny od Heinricha Hertze v roce 1887, více než 20 let po zveřejnění teorie Maxwell. První přímé měření posuvného proudu však provedl M. R. Van Cauwenberghe v roce 1929.

světlo je elektromagnetické vlnění

Jednou z prvních ohromujících předpovědí vytvořených Maxwellovými rovnicemi je existence elektromagnetické vlny, ale nejen to, odhalily také, že světlo muselo být vlnou tohoto Typ. Abychom to trochu viděli, pohrajeme si s Maxwellovými rovnicemi, ale předtím je zde forma jakékoli vlnové rovnice:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Obecný tvar vlnové rovnice ve třech rozměrech.

Kde \({{\nabla }^{2}}\) je Laplaciánský operátor, \(u\) je vlnová funkce a \(v\) je rychlost vlny. S Maxwellovými rovnicemi budeme pracovat i v prázdném prostoru, tedy za nepřítomnosti elektrických nábojů a elektrických proudů pouze elektrických a magnetických polí:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\částečné \vec{B}}{\částečné t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

A také použijeme následující identita vektorový počet:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Pokud použijeme tuto identitu na elektrická a magnetická pole pomocí výše uvedených Maxwellových rovnic pro prázdný prostor, dostaneme následující výsledky:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\částečné {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\částečné {{t}^{2}}}\)

Všimněte si podobnosti těchto rovnic s vlnovou rovnicí výše, in závěr, elektrická a magnetická pole se mohou chovat jako vlny (elektromagnetické vlny). Pokud definujeme rychlost těchto vln jako \(c\) a porovnáme tyto rovnice s vlnovou rovnicí výše, můžeme říci, že rychlost je:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) a \({{\epsilon }_{0}}\) jsou magnetická permeabilita a elektrická permitivita vakua a obě jsou konstanty univerzálie, jejichž hodnoty jsou \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) a \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), dosazením těchto hodnot získáme, že hodnota \(c\) je \(c=299 792 458\frac{m}{s}\cca 300 000~km/s\), což je přesně rychlost světlo.

S touto malou analýzou můžeme získat tři velmi důležité závěry:

1) Elektrická a magnetická pole se mohou chovat jako vlny, to znamená, že existují elektromagnetické vlny, které se mohou šířit i vakuem.

2) Světlo je elektromagnetické vlnění, jehož rychlost závisí na magnetické permeabilitě a permitivitě prostředí, kterým se šíří, má světlo v prázdném prostoru rychlost přibližně 300 000 km/s.

3) Protože magnetická permeabilita a elektrická permitivita jsou univerzální konstanty, pak je rychlost světla je také univerzální konstanta, ale to také znamená, že její hodnota nezávisí z rámec od kterého se měří.

Toto poslední tvrzení bylo ve své době značně kontroverzní.Jak je možné, že rychlost o světlo je stejné bez ohledu na pohyb osoby, která jej měří, a pohyb světelného zdroje. světlo? Rychlost něčeho musí být relativní, ne? To byl předěl pro fyziku té doby a tato jednoduchá, ale hluboká skutečnost vedla k rozvoji Teorie speciální relativity Albertem Einsteinem v roce 1905.