Co je Diracova rovnice a jak je definována?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) navrhl koncem roku 1928 jednu z rovnic s největším významem a důsledky ve fyzice současné doby, a to proto, že sjednocuje principy kvantové mechaniky s principy relativita.

Citace (APA)

Evelyn Maitee Marin | Aug. 2022
Průmyslový inženýr, MSc ve fyzice a EdD

Tato rovnice může být vyjádřena několika způsoby, z nichž nejkompaktnější a nejjednodušší je to, co je považováno za jednu z nejestetičtějších rovnic ve vědě:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Kde:
i: imaginární jednotka
m: klidová hmotnost elektronu
ħ: Planckova redukovaná konstanta
C: Rychlost světla
: sumační operátor parciálních derivací
: matematická vlnová funkce elektronu

Absolutní hodnota druhé mocniny vlnové funkce představuje pravděpodobnost najít částici v určité poloze s ohledem na její Energie, rychlost, mimo jiné parametry, stejně jako její vývoj včas. Jinými slovy, rovnice Paula Diraca používá matice působící na vektory a představuje evoluci Schrödingerovy rovnice v relativistické kvantové fyzice.

Diracova rovnice byla původně použita k popisu chování elektronu bez interakce, i když její použitelnost sahá až popis subatomárních částic, když se pohybují rychlostí blízkou rychlosti světla. Diracovi se podařilo vysvětlit v subatomárním měřítku duální chování vlny a částice, které bylo v té době již známé, protože uvažoval o vlastnostech částic, jako je moment hybnosti vnitřní nebo točit.

Dalším z významných příspěvků Diracovy rovnice je předpověď antihmoty, jejíž existenci později (v roce 1932) prokázal Carl D. Anderson pomocí mlžné komory, pomocí které identifikoval pozitron. To také do značné míry vysvětluje jemnou strukturu identifikovanou v atomových spektrálních čarách.

Obrázek ukazuje slavnou fotografii pořízenou během konference „Fotony a elektrony“ v roce 1927, kde jsou vyobrazeni jedni z nejvýznačnějších vědců v historii. V nebeském obvodu je Paul Dirac.

Pozadí rovnice Dirac

Abychom porozuměli úvahám, které vzal Dirac při vývoji své rovnice, stejně jako základ, na kterém byl založen jeho přístup, je důležité znát teorie předcházející jeho Modelka.

Za prvé, existuje slavná Schrödingerova rovnice kvantové mechaniky, publikovaná v roce 1925, která převádí veličiny na kvantové operátory. Tato rovnice používá vlnovou funkci (), přičemž výchozím bodem je klasická rovnice energie E = p2/2m a zahrnuje kvantizační pravidla pro hybnost (p) i energii (A):

\(ih\frac{\částečný }{{\částečný t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Parciální derivace /t vyjadřuje vývoj systému s ohledem na čas. První výraz v hranaté závorce odkazuje na Kinetická energie (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), zatímco druhý termín se týká potenciální energie.

Poznámka: V Einsteinově teorii relativity musí proměnné prostoru a času vstupovat rovnoměrně do rovnice, což není případ Schrödingerovy rovnice, ve které se čas jeví jako derivace a pozice jako druhá derivace.

Nyní, po staletí, se vědci snažili najít model fyziky, který by sjednotil různé teorie, a v případě Schrödingerova rovnice, bere v úvahu hmotnost (m) a náboj elektronu, ale nezohledňuje relativistické efekty, které se projevují při vysokých rychlosti. Z tohoto důvodu v roce 1926 vědci Oskar Klein a Walter Gordon navrhli rovnici, která bere v úvahu principy relativity:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Problém s Klein-Gordonovou rovnicí je, že je založena na Einsteinově rovnici, ve které je energie na druhou, takže tato (Klein-Gordonova) rovnice obsahuje druhou mocninu s ohledem na čas, což znamená, že má dvě řešení, která umožňují záporné hodnoty času, a to nedává smysl fyzický. Stejně tak má tu nevýhodu, že jako řešení generuje hodnoty pravděpodobnosti menší než nula.

Ve snaze vyřešit nekonzistence vyplývající ze záporných řešení určitých velikostí, které tyto výsledky nepodporují, začal Paul Dirac od Klein-Gordonovy rovnice k linearizoval a v tomto postupu zavedl dva parametry ve formě matic dimenze 4, známých jako Diracovy nebo také Pauliho matice a které jsou reprezentací algebry roztočit. Tyto parametry jsou označeny jako  a ` (v energetické rovnici jsou reprezentovány jako E = pc + mc2):

Tím, co je rovnost je splněna, podmínkou je, že ´2 = m2c4

Obecně platí, že kvantizační pravidla vedou k operacím s derivacemi, které platí pro skalární vlnové funkce, nicméně parametry α a β jsou matice 4x4, diferenciální operátory zasahují do čtyřrozměrného vektoru (), známého jako spinor.

Diracova rovnice řeší problém záporné energie prezentovaný Klein-Gordonovou rovnicí, ale stále se objevuje záporné energetické řešení; to znamená částice s vlastnostmi podobnými vlastnostem druhého řešení, ale s opačným nábojem, Dirac to nazval antičásticemi. Dále se pomocí Diracovy rovnice ukazuje, že spin je výsledkem aplikace relativistických vlastností na kvantový svět.