Definice kvadratické funkce

Kvadratická funkce reálné proměnné, jejíž tvar je vyjádřen.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Kde proměnná je \(x\), \(a, b\) ac jsou reálné konstanty, nazývané koeficienty kvadratické funkce s \(a \ne 0.\)

Tabulka uvádí obecné příklady kvadratických funkcí a situace, které mohou modelovat, aby později ilustrovala jejich přímou aplikaci ze skutečných problémů.

Kvadratická funkce	Situace, kterou můžete modelovat
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	Proměnná \(y\) je plocha čtverce, jehož strana měří \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Proměnná \(y\) je oblast kruhu, jehož poloměr je \(x\).
\(f\left( x \right) = 100 – 4,9{x^2}\)	Proměnná \(y\) je výška objektu, který byl shozen ve výšce 100 a \(x\) je uplynulý čas.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Proměnná \(y\) je výška dělové koule vržené pod úhlem 45° rychlostí 60 m/s a \(x\) je uplynulý čas.

Obecný vzorec a kvadratická funkce

Jestliže pro \(x = \alpha \) je kvadratická funkce nula, pak číslo je \(\alpha \) nazýváme kořenem kvadratické funkce, ano, \(\alpha \) je řešením kvadratické rovnice

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Obecný vzorec pro řešení kvadratických rovnic máme, že kořeny kvadratické funkce jsou:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Z výše uvedeného vyplývá následující vztah mezi kořeny a koeficienty kvadratické funkce:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Prostřednictvím významných produktů je stanovena následující identita:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Podobným způsobem, jaký je stanoven v obecném vzorci, je stanoveno, že kvadratická funkce může být vyjádřena ve tvaru:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

S \(h = – \frac{b}{{2a}}\) a \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Řešením rovnice:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Získává se:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Z výše uvedeného lze usoudit, že \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), pouze pokud jsou konstanty \(k\) a \(a\) jsou z opačná znaménka, tato kvadratická funkce má reálné kořeny, které jsou: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Jestliže konstanty \(k\) a \(a\) mají stejné znaménko, pak kvadratická funkce nemá žádné skutečné kořeny.

Když \(k = 0,\;\;\) má kvadratická funkce pouze jeden kořen.

Příklady aplikované na reálný život

Příklad aplikace 1: Ekonomika

Škola chce uspořádat fotbalový turnaj, kde každý tým hraje s každým týmem pouze jednou. Existuje rozpočet 15 600 USD na náklady rozhodčího řízení, pokud jsou náklady na rozhodčí řízení 200 USD na hru. Kolik týmů se může do turnaje přihlásit?

Problém: Musíme najít funkci, která vypočítá počet shod, když máme \(n\) týmy, abychom je spočítali, budeme předpokládat, že tým 1 hraje první se všemi ostatními, tedy \(n – 1\) zápasy. Tým 2 by nyní hrál se všemi ostatními, to znamená s \(n – 2\), protože již hrál s týmem 1. Tým 3 již hrál s týmy 1 a 2, takže by musel hrát s n-3 týmy.

S výše uvedenou úvahou se dostáváme k:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Nákladová funkce je:

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

Máme-li rozpočet 15 600 $, máme rovnici:

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\)

řešení rovnice

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Výchozí situace
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Vydělte každou stranu rovnice 100
\({n^2} – n – 156 = \) Přidejte \( – 156\) na každou stranu rovnice
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Máme \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) a \( – 13 + 12 = – 1\)
Bylo to zohledněno.
Řešení rovnice \(n = – 12,\;13\)
Odpověď: Rozpočet stačí na registraci 13 týmů.

Příklad aplikace 2: Ekonomika

Autobusová společnost metropolitní dopravy zjistila, že za osm hodin denně každý z jejích autobusů přepraví v průměru tisíc cestujících. Abyste mohli svým zaměstnancům zvýšit plat, budete muset zvýšit své jízdné, které je aktuálně 5 USD; Ekonom spočítá, že na každé peso, o které se zvýší jízdné, každý kamion ztratí průměrně 40 cestujících denně. Společnost spočítala, že na pokrytí zvýšení platu musí každý den získat dalších 760 USD na kamion O kolik se musí zvýšit jízdné?

Vyjádření problému: Nechť \(x\) je množství pesos, o které lístek stoupne, pro které \(5 + x\) je nová cena lístku. Při stejném nárůstu přepraví každý kamion v průměru \(1000 – 40x\) cestujících za den.

A konečně, příjem na nákladní automobil je:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \vpravo)\)

Aby bylo možné pokrýt zvýšení platu, musí každý autobus vybrat: \(1000\levý( 5 \vpravo) + 760 = 5760\)

Nakonec máme rovnici:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

řešení rovnice
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Výchozí situace
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Vydělte \( – 40\) každou stranu rovnice
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Byl vyvinut pozoruhodný produkt
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) Ke každému bylo přidáno 144
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Máme \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ vpravo) = 19\) a \( – 19 – 1 = – 20\)
faktorováno
Řešení rovnice \(n = 1,19\)
Odpověď: Cena vstupenky se může zvýšit o $ 1 nebo $ 19 pesos.

Aplikační příklad 3: Ekonomika

Prodejna chleba prodá v průměru 1200 rohlíků týdně za 6 dolarů za kus. Jednoho dne se rozhodl zvýšit cenu na 9 dolarů za kus; nyní se její tržby snížily: týdně prodá v průměru jen 750 rohlíků. Jaká by měla být cena každé housky, aby byl výnos outletu co nejvyšší? Předpokládejme, že existuje lineární vztah mezi poptávkou a cenou.

Problém: Předpokládejme, že existuje lineární vztah mezi poptávkou D a cenou \(x,\).

\(D = mx + b\)

Když \(x = 6;D = 1200;\;\), což generuje rovnici:

\(1200 = 6m + b\)

Když \(x = 9;D = 750;\;\) lo a dostaneme rovnici:

\(750 = 9m + b\)

Při řešení soustavy rovnic je vztah mezi poptávkou a cenou:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\doleva( {x – 14} \doprava)\)

Příjem se rovná

\(I\levá( x \vpravo) = Dx = – 150x\doleva( {x – 14} \vpravo)\)

Řešení

Graf příjmu v parabole, která se otevírá směrem dolů a jeho maximální hodnoty je dosaženo ve vrcholu na které lze nalézt zprůměrováním kořenů kvadratické funkce, která modeluje příjem. Kořeny jsou \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

Odpovědět

Maximální výnos je 7 350 USD a je dosažen s cenou 7 USD; prodává v průměru 1050 rolí týdně.

Příklad aplikace 4: Ekonomika

Náklady na výrobu \(n\) židlí za jeden den lze vypočítat pomocí kvadratické funkce:

\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Určete minimální náklady, kterých lze dosáhnout.

Problémové prohlášení

Graf \(C\left( n \right)\) je parabola, která se otevírá směrem nahoru a dosáhne svého minimálního bodu v \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ vlevo ( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Odpovědět

Nejnižší možné náklady se rovnají 3000 USD a jsou dosaženy výrobou 100 židlí.

Příklad aplikace 5: Geometrie

Kosočtverec má plochu 21 cm2; Je-li součet délek jeho úhlopříček 17 cm, jaká je délka každé úhlopříčky kosočtverce?

Problém: Plocha kosočtverce se vypočítá takto:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

S \(D\) a \(d\) délkami jeho úhlopříček je také známo:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Nahrazením získáte:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Nakonec dostaneme rovnici

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Řešení
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Výchozí situace
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Vynásobte \( – 40\) každou stranu rovnice
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produkt byl vyvinut.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Máme \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ vpravo) = 42\) a \( – 14 – 3 = – 17\)
faktorováno
Řešení rovnice \(d = 3,14\)
Odpovědět:

Úhlopříčky kosočtverce měří 14 cm a 3 cm.

Příklad aplikace 6: Geometrie

Je žádoucí postavit obdélníkový kurník o velikosti 140 m2 s využitím poměrně dlouhého plotu, který bude tvořit dno kurníku. Zbývající tři strany budou postaveny z 34 lineárních metrů drátěného pletiva, jak velká by měla být délka a šířka kurníku, aby bylo možné použít celkové pletivo?

Jaká je maximální plocha, kterou lze za stejných podmínek oplotit stejným pletivem?

Problém: Podle diagramu je plocha rovna:

\(A\doleva( x \vpravo) = x\doleva( {34 – 2x} \vpravo) = 2x\doleva( {17 – x} \vpravo)\)

Kde \(x\) je délka strany kolmé k plotu.

Chcete-li znát rozměry obdélníku tak, aby měl plochu 140 m2, stačí vyřešit rovnici

\(2x\left( {17 – x} \right) = 140\)

Protože graf \(A\left( x \right)\) je parabola, která se otevírá směrem dolů pro výpočet maximální hodnoty plochy, stačí vypočítat vrchol paraboly.

Odpovědi
Míry obdélníku o ploše 140 m2
Délka strany kolmé k plotu

\(x\) Délka strany rovnoběžné s plotem

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

První souřadnice vrcholu je \(h = \frac{{17}}{2}\) a

\(A\levá( h \vpravo) = \frac{{289}}{2}\)

Plocha je maximální, když kolmá strana měří \(\frac{{17}}{2}\;\)m a rovnoběžná strana měří 17m, měří 17m, hodnota maximální dosažené plochy je \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graf kvadratické funkce

Z geometrického hlediska jsou kořeny body, kde graf funkce protíná osu \(x\).

Z výrazu

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Sestavíme obecný tvar grafu kvadratické funkce.

První případ \(a > 0\) a \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\left( x \vpravo)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

V tomto případě graf splňuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Je nad osou \(x\) a neprotíná ji. To znamená, že \(f\left( x \right) > 0\) nemá žádné skutečné kořeny.

Nejnižší bod na grafu je v bodě \(\left( {h, k} \right)\). To je \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Druhý případ \(a < 0\) a \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\left( x \vpravo)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

V tomto případě graf splňuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Je pod osou \(x\) a neprotíná ji. To znamená, že \(f\left( x \right) < 0\) nemá žádné skutečné kořeny. Nejvyšší bod na grafu je v bodě \(\left( {h, k} \right)\). To je \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Třetí případ \(a > 0\) a \(k \le 0\).

Tento případ je podobný prvnímu případu, rozdíl je v tom, že nyní máme jeden skutečný kořen (když \(k = 0\) ) nebo dva skutečné kořeny.

V tomto případě graf splňuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Protíná osu \(x\), to znamená, že má alespoň jeden skutečný kořen.

Nejnižší bod na grafu je v bodě \(\left( {h, k} \right)\). To je \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Čtvrtý případ \(a < 0\) a \(k \ge 0\). Tento případ je podobný druhému případu, rozdíl je v tom, že nyní máme jeden skutečný kořen (když \(k = 0\) ) nebo dva skutečné kořeny. V tomto případě graf splňuje:

Symetrický: S osou symetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \vpravo)\)

Nejnižší bod na grafu je v bodě \(\left( {h, k} \right)\). To je \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Graf kvadratické funkce se nazývá parabola a její prvky ke zvýraznění jsou osa symetrie, body, kde se protíná k ose \(x\) a vrcholu, což je bod na grafu funkce, kde dosáhne svého nejnižšího nebo nejvyššího bodu v závislosti na pouzdro.

Na základě provedené analýzy můžeme konstatovat:

Parabola spojená s kvadratickou funkcí \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) má svůj vrchol v \(\left( {h, k} \right)\), kde :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

příklady

Kvadratická funkce \(y = {x^2}\)	důležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {0,0} \right)\)
Osa symetrie paraboly	\(x = 0\)
Průsečíky s osou \(x\).	\(\left( {0,0} \right)\)

Kvadratická funkce \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	důležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {2,0} \right)\)
Osa symetrie paraboly	\(x = 2\)
Průsečíky s osou \(x\).	\(\left( {2,0} \right)\)

Kvadratická funkce \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	důležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
Osa symetrie paraboly	\(x = – 2\)
Průsečíky s osou \(x\).	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Kvadratická funkce \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	důležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {9,8} \right)\)
Osa symetrie paraboly	\(x = 9\)
Průsečíky s osou \(x\).	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Kvadratická funkce \(y = {x^2} + 1\)	důležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {0,1} \right)\)
Osa symetrie paraboly	\(x = 0\)
Průsečíky s osou \(x\).	Nemá

Kvadratická funkce \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	důležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( {2, – 1} \right)\)
Osa symetrie paraboly	\(x = 2\)
Průsečíky s osou \(x\).	Nemá

Pokud existují skutečné kořeny kvadratické funkce, můžeme z nich vykreslit její asociovanou parabolu. Předpokládejme, že \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

K tomu je třeba vzít v úvahu následující:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Tak jako

\(k = f\left( h \right)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \vpravo)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

příklady

Načrtněte graf kvadratické funkce \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Řešení

Kořeny jsou \(\alpha = 3\;\) a \(\beta = – 6\); pak \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Můžeme tedy sestavit následující tabulku

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	důležité prvky
Vrchol paraboly	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Osa symetrie paraboly	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Průsečíky s osou \(x\).	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

Chcete-li načrtnout graf funkce:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Použijeme stejné nápady, které jsme již použili; K tomu nejprve určíme vrchol.

V tomto případě \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Protože \(a > 0\), parabola se “otevře a \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Dále spočítáme \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Vrchol paraboly je v \(\left( {3, – 23} \right)\) a protože se otevírá směrem nahoru, pak parabola protne osu \(x\;\) a její osa symetrie je \ (x = 3\).

Nyní uvažujme o kvadratické funkci

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

V tomto případě \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Protože \(a < 0\), parabola se „otevře“ směrem dolů a \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \vpravo)\vlevo( { - 5} \vpravo)}}} \vpravo) = 1.\) A Dále spočítáme \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ vpravo) - 9 = - 4\) Vrchol parabola je v \(\left( {1, - 4} \right)\) a protože se otevírá směrem dolů, parabola nebude protínat osu \(x\;\) a její osa symetrie je \(x = 1.\)