Definice geometrického postupu

Posloupnost čísel \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Nazývá se geometrickou progresí, pokud počínaje druhým je každý prvek získán vynásobením předchozího číslem \(r\ne 0\), to znamená, že:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Kde:
- Číslo \(r\) se nazývá poměr geometrické posloupnosti.
- Prvek \({{a}_{1}}\) se nazývá první prvek aritmetické posloupnosti.

Prvky geometrické posloupnosti lze vyjádřit pomocí prvního prvku a jeho poměru, tj.
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Jsou to první čtyři prvky aritmetické progrese; obecně je \(k-\)-tý prvek vyjádřen takto:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Když \({{a}_{1}}\ne 0,~\)předchozího výrazu získáme:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Výše uvedený výraz je ekvivalentní:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Příklad/cvičení 1. Najděte rozdíl aritmetické posloupnosti: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​a najděte prvky \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Řešení

Protože \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) můžeme dojít k závěru, že poměr je:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Příklad/cvičení 2. V aritmetické posloupnosti máme: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), určete poměr geometrické posloupnosti a napište prvních 5 prvků.

Řešení

Nošení

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Najít prvních 5 prvků aritmetického postupu; vypočítáme \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Prvních 5 prvků geometrického postupu je:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Příklad/cvičení 3. Tenké sklo pohltí 2 % slunečního záření, které jím prochází.

na. Kolik procent světla projde přes 10 těch tenkých skel?

b. Kolik procent světla projde 20 těmi tenkými brýlemi?

C. Určete procento světla, které projde \(n\) tenkými skly se stejnými vlastnostmi, umístěnými za sebou.

Řešení

Budeme reprezentovat s 1 celkové světlo; pohlcením 2 % světla pak sklem projde 98 % světla.

Budeme reprezentovat pomocí \({{a}_{n}}}\) procento světla, které projde sklem \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Obecně \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

na. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); což nám říká, že po skle 10 projde 81,707 % světla

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); což nám říká, že po projetí sklenice 20 66,761 %

Součet prvních \(n\) prvků geometrické posloupnosti

Vzhledem ke geometrické posloupnosti \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Když \(r\ne 1\) je součet prvních \(n\) prvků, součet:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Dá se s tím počítat

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Příklad/cvičení 4. Z příkladu 2 vypočítejte \({{S}_{33}}\).

Řešení

V tomto případě \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) a \(r=-4\)

uplatnění

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Příklad/cvičení 5. Předpokládejme, že osoba nahraje fotografii svého domácího mazlíčka a sdílí ji se 3 svými přáteli na internetové sociální síti a za hodinu každý z nich sdílí fotografii se třemi dalšími lidmi a ten druhý, za další hodinu, každý z nich sdílí fotografii se 3 dalšími lidé; A tak to pokračuje; každý, kdo obdrží fotografii, ji během hodiny sdílí se 3 dalšími lidmi. Kolik lidí už má fotku za 15 hodin?

Řešení

V následující tabulce jsou uvedeny první výpočty
Čas Lidé, kteří obdrží fotografii Lidé, kteří mají fotografii
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Počet lidí, kteří obdrží fotografii za hodinu \(n\) se rovná: \({{3}^{n}}\)

Počet lidí, kteří již mají fotografii za hodinu, se rovná:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

uplatnění

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

S \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) a \(n=15\)

přičemž:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometrické prostředky

Jsou-li dána dvě čísla \(a~\) a \(b,\), čísla \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) se nazývají \(k\) geometrické průměry čísel \(a~\) a \(b\); jestliže posloupnost \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) je geometrická posloupnost.

Abychom znali hodnoty \(k\) geometrických průměrů čísel \(a~\) a \(b\), stačí znát poměr aritmetické posloupnosti, k tomu je třeba vzít v úvahu následující:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Z výše uvedeného vytvoříme vztah:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Řešením pro \(d\) získáme:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Příklad/cvičení 6. Najděte 2 geometrické průměry mezi čísly -15 a 1875.

Řešení

Při aplikaci

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

s \(b=375,~a=-15\) a \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 geometrické prostředky jsou:

\(75,-375\)

Příklad/cvičení 7. Člověk investoval peníze a dostával úroky každý měsíc po dobu 6 měsíců a jeho kapitál se zvýšil o 10 %. Jaká byla měsíční úroková sazba za předpokladu, že se sazba nezměnila?

Řešení

Nechť \(C\) je investovaný kapitál; konečný kapitál je \(1.1C\); K vyřešení problému musíme umístit 5 geometrických prostředků pomocí vzorce:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

S \(k=5,~b=1,1C\) a \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Obdržená měsíční sazba byla \(1,6 %\)