Definice smíšených, jednotkových, homogenních a heterogenních zlomků

Smíšený. Smíšený zlomek se skládá z celého čísla většího nebo rovného jedné a vlastního zlomku, obecný pravopis zlomku smíšené je ve tvaru: \(a + \frac{c}{d},\), jehož kompaktní zápis je: \(a\frac{c}{d},\;\), tedy: \(a\ zlomek{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Číslo \(a\) se nazývá celočíselná část smíšeného zlomku a \(\frac{c}{d}\) se nazývá jeho zlomková část.

homogenní. Pokud mají dva nebo více zlomků stejného jmenovatele, říká se, že jsou jako zlomky. Například zlomky \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) jsou homogenní, protože všechny mají stejného jmenovatele, kterým je v tomto případě \(4\). Zatímco zlomky \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nejsou homogenní zlomky, protože jmenovatel \(\frac{5}{2}\) je \(2\) a jmenovatel ostatních zlomků je \(4\). Jednou z výhod homogenních zlomků je, že aritmetické operace sčítání a odčítání funkcí jsou velmi jednoduché.

heterogenní. Pokud dva nebo více zlomků, alespoň dva z nich nemají stejného jmenovatele, pak se o těchto zlomcích říká, že jsou heterogenními zlomky. Následující zlomky jsou heterogenní: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

unitární. Zlomek je identifikován jako jednotka, pokud je čitatel roven 1 \(1,\) \(2\). Následující zlomky jsou příklady jednotkových zlomků: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Slovní vyjádření smíšeného zlomku

smíšená frakce	Slovní projev
\(3\frac{1}{2} = \)	Celé tři a půl
\(5\frac{3}{4} = \)	Pět celých čísel a tři čtvrtiny
\(10\frac{1}{8} = \)	Deset celých čísel s osminou

Převod smíšeného zlomku na nesprávný zlomek

Smíšené frakce jsou užitečné pro odhad, je například snadné stanovit:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Smíšené zlomky jsou však obvykle nepraktické pro provádění operací, jako je násobení a dělení, a proto je důležité, jak je převést na smíšený zlomek.

Předchozí obrázek představuje smíšený zlomek \(2\frac{3}{4}\), nyní se každé celé číslo skládá z čtyři čtvrtiny, takže ve 2 celých číslech je 8 čtvrtin a k nim musíme přidat další 3 čtvrtiny, tzn. říci:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Obvykle:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Následující tabulka ukazuje další příklady.

smíšená frakce	Operace k provedení	nepravý zlomek
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Převod nesprávného zlomku na smíšený zlomek

Chcete-li převést nesprávný zlomek na smíšený zlomek, vypočítejte podíl a zbytek po dělení čitatele jmenovatelem. Získaný kvocient bude celočíselnou částí smíšeného zlomku a správný zlomek bude \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{jmenovatel}}}}\)

Příklad

Jak převést \(\frac{{25}}{7}\) na smíšený zlomek:

Za provedené operace získáme:

Níže uvedená tabulka ukazuje další příklady.

nepravý zlomek	Výpočet podílu a zbytku	nepravý zlomek
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Každodenní používání smíšených a správných frakcí

V každodenním životě potřebujeme měřit, nakupovat, porovnávat ceny, nabízet slevy; k měření potřebujeme měrné jednotky a ne vždy nabízejí celé jednotky produktů a neplatíte vždy celým množstvím mincí jednotky.

Například je běžné, že se určité tekutiny prodávají v nádobách, jejichž obsah je \(\frac{3}{4}\;\) litr, půl galonu nebo galon a půl. Možná, když si jdete koupit trubku, žádáte o \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) a nemusíte říkat měrnou jednotku, což je v tomto případě palec.

Základní operace se stejnými zlomky

Součet \(\frac{3}{4}\) a \(\frac{2}{4}\) je ilustrován v následujícím schématu:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Zatímco odečítání se provádí následovně:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Obecně pro homogenní frakce:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egypťané a jednotkové zlomky

Egyptská kultura dosáhla pozoruhodného technologického rozvoje a to by se nestalo bez rozvoje na stejné úrovni jako matematika. Existují historické pozůstatky, kde můžete najít záznamy o používání zlomků v egyptské kultuře, se zvláštností, že používali pouze unitární zlomky.

Existuje několik případů, kdy je zápis zlomku jako součtu jednotkových zlomků tak jednoduchý jako

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

V případě, že \(n = 2q + 1\), tedy liché, máme toto:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Ukážeme si to na dvou příkladech.

K vyjádření \(\frac{2}{{11}}\); v tomto případě máme \(11 = 2\left( 5 \vpravo) + 1\), proto:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

to znamená,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

K vyjádření \(\frac{2}{{17}}\); v tomto případě máme \(17 = 2\levá( 8 \vpravo) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Dále ukážeme některé zlomky jako součet jednotkových zlomků,

Zlomek	Vyjádření jako součet jednotkových zlomků	Zlomek	Vyjádření jako součet jednotkových zlomků
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Pomocí předchozí tabulky můžeme sčítat zlomky a vyjádřit takové součty; jako součet jednotkových zlomků.

Příklady heterogenních zlomků

Příklad 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Příklad 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Nakonec můžeme stejný zlomek vyjádřit jako součet jednotkových zlomků jiným způsobem jako:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)