Definice ekvivalentních zlomků

Dva nebo více zlomků se říká, že jsou ekvivalentní, pokud představují stejné množství, tedy pokud
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
o zlomcích \(\frac{a}{b}\) a \(\frac{c}{d}\) se říká, že jsou ekvivalentní.

Ekvivalentní zlomky: Grafické znázornění

Uvažujme čtverec, který rozdělíme na čtvrtiny, třetiny, osminy a dvanáctiny.

Z předchozích obrázků si všimneme následujících ekvivalencí:

Jak získat jeden nebo více ekvivalentních zlomků?

Existují dvě základní metody, jak získat zlomek ekvivalentní danému zlomku.

1. Vynásobte čitatele a jmenovatele stejným kladným číslem.

Příklady:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Dělí se stejným kladným společným dělitelem čitatele a jmenovatele.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Když jsou ve zlomku čitatel i jmenovatel děleni stejným společným dělitelem jiným než 1, říká se, že zlomek byl zmenšen.

neredukovatelné frakce

Zlomek se nazývá neredukovatelný zlomek, pokud největší společný dělitel čitatele a jmenovatele je roven 1.

Jestliže \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) zlomek \(\frac{a}{b}\) se nazývá neredukovatelný zlomek.

Je dán zlomek \(\frac{a}{b}\), abychom získali zlomek ekvivalentní tomuto zlomku a který je také neredukovatelný zlomek čitatel a čitatel jsou děleny největším společným dělitelem \(a\;\) a \(b.\)

Následující tabulka ukazuje příklady neredukovatelných a redukovatelných frakcí; pokud je redukovatelný, ukazuje, jak získat neredukovatelný ekvivalentní zlomek.

Zlomek	Největší společný dělitel	Neredukovatelné	neredukovatelný ekvivalentní zlomek
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Ne	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	to jo	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Ne	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	to jo	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Ne	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ekvivalentní zlomky: slovní vyjádření.

Následující tabulka ukazuje dva různé způsoby zobrazení ekvivalentních informací z číselného hlediska.

Slovní fráze	Ekvivalentní fráze (číselně)	Argumentace
V roce 1930 mluvili v Mexiku 4 lidé z 25 lidí rodným jazykem.	V roce 1930 v Mexiku mluvilo 16 lidí ze 100 lidí rodným jazykem.	Oba údaje byly vynásobeny 4
V roce 1960 v Mexiku mluvilo 104 lidí z 1000 lidí rodným jazykem.	V roce 1960 v Mexiku mluvilo mateřským jazykem 13 lidí ze 125 lidí	Oba údaje byly vyděleny 8.

Ekvivalentní zlomky: Desetinná reprezentace

Níže uvedená tabulka ukazuje různá desetinná čísla a ekvivalentní zlomky, které je představují.

Desetinné číslo	Zlomek	ekvivalentní zlomek	Operace
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalentní zlomky: Zastoupení jako procento

Níže uvedená tabulka ukazuje různá desetinná čísla a ekvivalentní zlomky, které je představují.

Desetinné číslo	Zlomek	ekvivalentní zlomek	Operace
20%	\(\frac{{20}}{{100}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalentní zlomky: Od heterogenních k homogenním

Jsou-li dány dva heterogenní zlomky \(\frac{a}{b}\) a \(\frac{c}{d}\), můžeme najít dva zlomky homogenní tak, že jeden zlomek je ekvivalentní zlomku \(\frac{a}{b}\;\) a druhý \(\frac{c}{d}\).

Dále si ukážeme dva postupy, jak provést to, co je zmíněno v předchozím odstavci.

Sledujme:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Následující tabulka ukazuje některé příklady.

F. heterogenní	Operace	F. homogenní
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Nevýhoda tohoto způsobu spočívá v tom, že tímto způsobem lze vyrobit velmi velká množství; V mnoha případech se tomu lze vyhnout, pokud se počítá nejmenší společný násobek jmenovatelů a druhá metoda je založena na výpočtu nejmenšího společného násobku.

Nejmenší společný násobek při počítání zlomků

Dále na dvou příkladech, jak získat homogenní zlomky pomocí nejmenšího společného násobku jmenovatelů, který bude společným jmenovatelem příslušných zlomků.

Zvažte zlomky: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Nejmenší společný násobek \(12\) a \(18\) je \(36\); Nyní

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Nyní zvažte zlomky: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Nejmenší společný násobek \(10\), \(14\) a \(3\) je \(140\); Nyní

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Z předchozích obrázků si všimneme následující skutečnosti:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Zde jsou další příklady.

F. heterogenní	min společných jmenovatelů	Operace	F. homogenní
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)