Definice aritmetické progrese

Posloupnost čísel \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​se nazývá aritmetická posloupnost, pokud je rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími čísly roven stejnému číslu \(d\), to je Ano:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Číslo \(d\) se nazývá rozdíl aritmetické posloupnosti.

Prvek \({a_1}\) se nazývá první prvek aritmetické posloupnosti.

Prvky aritmetické posloupnosti lze vyjádřit pomocí prvního prvku a jeho rozdílu, tj.

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Jsou to první čtyři prvky aritmetické progrese; Obecně je \(k – \)-tý prvek vyjádřen takto:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Z výše uvedeného výrazu dostaneme:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Výše uvedený výraz je ekvivalentní:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Příklady použité pro aritmetický postup

1. Najděte rozdíl aritmetické posloupnosti: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​a najděte prvky \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Řešení

Protože \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), můžeme dojít k závěru, že rozdíl je:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. V aritmetické posloupnosti máme: \({a_{17}} = 20\;\)a \({a_{29}} = – 130\), určete rozdíl aritmetické posloupnosti a zapište prvních 5 prvků.

Řešení

Nošení

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \right) d\)

\( – 150 = \left( {12} \vpravo) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Chcete-li najít prvních 5 prvků; vypočítáme \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Prvních 5 prvků je:

\(220 220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Polygonální čísla a součet prvních \(n\) prvků aritmetické posloupnosti

trojúhelníková čísla

Trojúhelníková čísla \({T_n}\;\) se tvoří z aritmetické posloupnosti: \(1,2,3,4 \ldots \); následujícím způsobem.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

čtvercová čísla

Čtvercová čísla \({C_n}\;\) se tvoří z aritmetické posloupnosti: \(1,3,5,7 \ldots \); jak následuje

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

pětiúhelníková čísla

Čtvercová čísla \({P_n}\;\) se tvoří z aritmetické posloupnosti: \(1,3,5,7 \ldots \); jak následuje

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Dále si ukážeme vzorec pro nalezení součtu prvních \(n\) prvků aritmetické posloupnosti.

Vzhledem k aritmetickému postupu \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Pro výpočet součtu \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) můžete použít vzorec:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

což je ekvivalentní

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Použitím předchozího vzorce se získají vzorce pro výpočet trojúhelníkových, čtvercových a pětiúhelníkových čísel; které jsou uvedeny v následující tabulce.

polygonální číslo	\({a_1}\)	\(d\)	Vzorec
Trojúhelníkový \(n – \)-tý	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Čtverec \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pětiúhelníkový \(n – \)-tý	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Příklad na polygonálních číslech

3. Z příkladu 2 vypočítejte \({S_{33}}\).

Řešení

V tomto případě \({a_1} = 200\) a \(d = – \frac{{25}}{2}\)

uplatnění

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

aritmetické průměry

Jsou-li dána dvě čísla \(a\;\) a \(b,\), čísla \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) se nazývají \(k\) znamená aritmetická čísla \(a\;\) a \(b\); jestliže posloupnost \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) je aritmetickou posloupností.

Abychom znali hodnoty \(k\) aritmetického průměru čísel \(a\;\) a \(b\), stačí znát rozdíl aritmetické posloupnosti, k tomu musí být považováno:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Z výše uvedeného vytvoříme vztah:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

Řešením pro \(d\) získáme:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

příklady

4. Najděte 7 aritmetických průměrů mezi čísly -5 a 25.

Řešení

Při aplikaci

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

s \(b = 25,\;a = – 5\) a \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

Těchto 7 aritmetických průměrů je:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Jedna osoba dala 2000 dolarů jako zálohu na nákup ledničky a zbytek zaplatila svou kreditní kartou po dobu 18 měsíců bez úroků. Musí platit 550 dolarů měsíčně, aby vyrovnal dluh, který získal na zaplacení ledničky.

na. Kolik stojí lednička?

b. Pokud jste zbytek zaplatili za 12 měsíců bez úroků, jaká by byla měsíční splátka?

Řešení

na. V tomto případě:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Mezi čísly 2000 a 11900 musíme najít 11 aritmetických průměrů, pro které:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Vzhledem k posloupnosti \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) najděte následující 3 prvky a obecné vyjádření prvku \(n\).

Řešení

Dotyčná sekvence není aritmetickou progresí, protože \(22 – 7 \ne 45 – 22\), ale můžeme vytvořit sekvence s rozdíly dvou po sobě jdoucích prvků a následující tabulka ukazuje Výsledek:

Prvky posloupnosti \({b_n}\)	Sekvence \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Třetí sloupec výše uvedené tabulky nám říká, že sekvence \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); je aritmetická posloupnost, jejíž rozdíl je \(d = 8\).

Dále napíšeme prvky posloupnosti \({b_n}\) jako posloupnost \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Obecně máte:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Při aplikaci

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

S \({c_1} = 7\) a \(d = 8,\) získáme:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\left( {4n + 3} \right)\)

Použitím předchozího vzorce: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)