Definice racionalizace radikálů (matematika)

Racionalizace radikálů je matematický proces, který se provádí, když je ve jmenovateli kvocient s radikály nebo kořeny. Tímto způsobem lze usnadnit matematické operace tam, kde se jedná o podíly s radikály a další typy matematických objektů.

Typy podílů s radikály

Je důležité zmínit některé typy kvocientů s radikály, které lze racionalizovat. Než se však plně pustíme do procesu zefektivňování, je třeba si zapamatovat několik důležitých pojmů. Nejprve předpokládejme, že máme následující výraz: \(\sqrt[m]{n}\). Toto je kořen \(m\) čísla \(n\), to znamená, že výsledkem uvedené operace je číslo takové, že umocněním \(m\) dostaneme číslo \(n\) v důsledku toho). Mocnina a odmocnina jsou inverzní operace, a to takovým způsobem, že: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Na druhou stranu stojí za zmínku, že součin dvou stejných odmocnin je roven odmocnině součinu, tedy že: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Tyto dvě vlastnosti budou našimi nejlepšími spojenci při racionalizaci.

Nejběžnější a nejjednodušší typ kvocientu s radikálem, který můžeme najít, je následující:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Kde \(a\), \(b\) a \(c\) mohou být jakákoli reálná čísla. Racionalizační proces v tomto případě spočívá v nalezení způsobu, jak získat v kvocientu výraz \(\sqrt {{c^2}} = c\), abychom se zbavili radikálu. V tomto případě stačí vynásobit \(\sqrt c \) jak čitatel, tak jmenovatel:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Když si pamatujeme, co bylo zmíněno výše, víme, že \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Proto nakonec získáme:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Tímto způsobem jsme racionalizovali předchozí výraz. Tento výraz není nic jiného než konkrétní případ obecného výrazu, který je následující:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Kde \(a\), \(b\), \(c\) jsou libovolná reálná čísla a \(n\), \(m\) jsou kladné mocniny. Racionalizace tohoto výrazu je založena na stejném principu jako předchozí, tedy získat výraz \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) ve jmenovateli. Můžeme toho dosáhnout vynásobením \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) jak čitatele, tak jmenovatele:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Produkt radikálů ve jmenovateli můžeme vyvinout takto: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Proto racionalizovaný kvocient zůstává takto:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Dalším typem kvocientu s radikály, který lze racionalizovat, je ten, ve kterém máme ve jmenovateli binom s odmocninou:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Kde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) a \(e\;\) jsou libovolná reálná čísla. Symbol \( ± \) označuje, že znaménko může být kladné nebo záporné. Binom ve jmenovateli může mít oba kořeny nebo pouze jeden, nicméně tento případ použijeme k získání obecnějšího výsledku. Ústřední myšlenka provést racionalizační proces je v tomto případě stejná jako v předchozích případech, jen to v tomto případě vynásobíme čitatel i jmenovatel konjugátem binomu nalezeného v jmenovatel. Konjugát binomu je binom, který má stejné členy, ale jehož centrální symbol je opačný k původnímu binomu. Například konjugát binomu \(ux + vy\) je \(ux – vy\). Jak bylo řečeno, pak máme:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Symbol \( \mp \) udává, že znaménko může být kladné nebo záporné, ale aby bylo možné konjugovat dvojčleny, musí být opačné k symbolu jmenovatele. Vyvinutím násobení dvojčlenů ve jmenovateli získáme, že:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Nakonec to dostaneme:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Tímto jsme racionalizovali kvocient s radikálem. Tyto kvocienty s radikály jsou ty, které lze obecně racionalizovat. Dále uvidíme několik příkladů racionalizace radikálů.

příklady

Podívejme se na některé příklady racionalizace s kvocienty s radikály výše uvedeného typu. Nejprve předpokládejme, že máme následující kvocient:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

V tomto případě stačí vynásobit čitatele a jmenovatele \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Nyní předpokládejme, že máme následující kvocient s radikálem:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

V tomto případě máme šestou odmocninu krychlové mocniny. V předchozí části jsme zmínili, že pokud máme radikál ve tvaru \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) v jmenovatele, můžeme racionalizovat kvocient vynásobením čitatele a jmenovatele \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Porovnáme-li to se zde uvedeným případem, můžeme si uvědomit, že \(n = 6\), \(c = 4\) a \(m = 3\), proto Proto můžeme předchozí kvocient racionalizovat vynásobením čitatele a jmenovatele \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Nakonec předpokládejme, že máme následující funkci:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Jak bylo ukázáno v předchozí části, k racionalizaci tohoto typu kvocientu s radikály musíte vynásobit čitatel a jmenovatel konjugátem jmenovatele. V tomto případě by konjugát jmenovatele byl \(x – \sqrt x \). Proto by výraz byl následující:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Rozvíjením násobení konjugovaných binomů ve jmenovateli nakonec získáme, že:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Reference

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Aritmetický. Mexiko: Pearson Education.