Definice Bernoulliho principu/rovnice

Bernoulliho princip, často také nazývaný Bernoulliho rovnice, je jedním z nejdůležitějších pojmů v hydrodynamice a mechanice tekutin. Zformuloval jej švýcarský fyzik a matematik Daniel Bernoulli v roce 1738 jako součást své práce „hydrodynamika“ a součástí zachování energie v ideální tekutině v pohybu.

Představme si následující situaci: Máme hadici, kterou protéká voda, která opouští hadici určitou rychlostí a určitým tlakem. Poté přistoupíme k částečnému zakrytí výstupního otvoru hadice prstem; tímto způsobem vidíme, jak voda nyní vytéká s větší rychlostí. Toto je příklad Bernoulliho principu v akci.

Ideální tekutiny v pohybu

Bernoulliho princip platí pro ideální tekutiny v pohybu, takže než přistoupíme k vysvětlení tohoto principu, je důležité zmínit, co rozumíme pod pojmem ideální tekutina. Ideální tekutina je zjednodušením skutečné tekutiny, to se děje kvůli popisu tekutiny Ideál je matematicky jednodušší a poskytuje nám užitečné výsledky, které lze později rozšířit na fluidní pouzdro nemovitý.

Existují čtyři předpoklady, podle kterých lze tekutinu považovat za ideální, a všechny mají co do činění s prouděním:

• Ustálený tok: Ustálený tok je takový, při kterém je rychlost, kterou se tekutina pohybuje, stejná v jakémkoli bodě prostoru. Jinými slovy, předpokládáme, že tekutina neprochází turbulencí.

• Nestlačitelnost: Předpokládá se také, že ideální tekutina je nestlačitelná, to znamená, že má po celou dobu konstantní hustotu.

• Neviskozita: Viskozita je vlastnost kapalin, která obecně představuje odpor, který kapalina staví proti pohybu. Viskozitu lze považovat za analogickou k mechanickému tření.

• Irotační proudění: S tímto předpokladem odkazujeme na skutečnost, že pohybující se tekutina nevykonává žádný typ kruhového pohybu kolem žádného bodu své dráhy.

Tím, že vytvoříme tyto předpoklady a máme ideální tekutinu, značně zjednodušíme matematické zpracování a zajišťujeme také zachování energie, což je výchozím bodem k principu Bernoulli.

Vysvětlena Bernoulliho rovnice

Uvažujme ideální tekutinu pohybující se potrubím, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Nyní použijeme větu o práci a kinetické energii, což je další způsob, jak vyjádřit zákon zachování energie, což nám říká, že:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Kde \(W\) je celková mechanická práce a \({\rm{\Delta }}K\) je změna kinetické energie mezi dvěma body. V tomto systému máme dva typy mechanické práce, jeden, který se provádí gravitační silou na tekutinu, a druhý, který je výsledkem tlaku tekutiny. Nechť \({W_g}\) je mechanická práce vykonaná gravitací a \({W_p}\) je mechanická práce vykonaná tlakem, pak můžeme říci, že:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Protože gravitace je konzervativní síla, mechanická práce, kterou vykoná, se bude rovnat rozdílu v gravitační potenciální energii mezi dvěma body. Počáteční výška, ve které se tekutina nachází, je \({y_1}\) a konečná výška je \({y_2}\), proto máme:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \vpravo )\)

Kde \({\rm{\Delta }}m\) je část hmoty tekutiny, která projde určitým bodem a \(g\) je gravitační zrychlení. Protože ideální tekutina je nestlačitelná, pak \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Kde \(\rho \) je hustota tekutiny a \({\rm{\Delta }}V\) je část objemu, která protéká bodem. Když to dosadíme do výše uvedené rovnice, dostaneme:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Uvažujme nyní mechanickou práci vykonanou tlakem tekutiny. Tlak je síla vyvíjená na jednotku plochy, tj. \(F = PA\). Na druhou stranu, mechanická práce je definována jako \(W = F{\rm{\Delta }}x\), kde \(F\) je použitá síla a \({\rm{\Delta }}x\) je posunutí provedené v tomto případě na ose x. V této souvislosti můžeme uvažovat o \({\rm{\Delta }}x\) jako o délce části tekutiny, která protéká určitým bodem. Spojením obou rovnic dostaneme, že \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Můžeme si uvědomit, že \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), to znamená, že je to část objemu, která protéká uvedeným bodem. Máme tedy, že \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

V počátečním bodě je na systému provedena mechanická práce rovnající se \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) a v koncovém bodě systém vykonává mechanickou práci na okolí rovnající se \({P_2}{\rm{\Delta }}PROTI\). Mechanická práce způsobená tlakem kapaliny pak bude práce vykonaná na systému mínus práce, kterou vykoná na svém okolí, to znamená, že:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Konečně, rozdíl v kinetické energii \({\rm{\Delta }}K\) se bude rovnat kinetické energii v koncovém bodě mínus kinetická energie v počátečním bodě. to je:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Z výše uvedeného víme, že \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Výše uvedená rovnice pak vypadá takto:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Dosazením všech výsledků získaných v rovnici zachování energie se získá, že:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Můžeme faktor \({\rm{\Delta }}V\) rozdělit na obě strany rovnice, což vede k:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \že jo)\)

Při vývoji chybějících produktů musíme:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Přeuspořádáním všech členů na obou stranách rovnice dostaneme, že:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Tato rovnice je vztahem mezi počátečním stavem a konečným stavem našeho systému. Konečně můžeme říci, že:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstanta\)

Tato poslední rovnice je Bernoulliho rovnicí, z níž je odvozen její princip. Bernoulliho princip je zákon zachování ideální tekutiny v pohybu.

Reference

David Halliday, Robert Resnick a Jearl Walker. (2011). Základy fyziky. Spojené státy: John Wiley & Sons, Inc.