Definition af ikke-euklidisk geometri

Grundlæggende er ikke-euklidiske geometrier dem, der opstår fra spørgsmålet om de såkaldte Euklids 5. postulat, derfor er en generel karakterisering af Euklids arbejde afgørende, som var en græsk matematiker og geometer, hvis arbejde er paradigmatisk for Geometri, for at blive betragtet som en af ​​dens grundlæggere. Det vides med sikkerhed sikkerhed som boede i byen Alexandria, et kulturelt fokus i antikken, omkring år 300 f.Kr. c.

Hans arbejde Elementer det begynder med en række "principper", der består af en liste med 23 definitioner; efterfulgt af 5 postulater, med henvisning til tal specifikt geometrisk; og 5 generelle aksiomer, fælles for andre matematiske discipliner. Dernæst, efter principperne, introducerer Euklid "forslagene", af to typer: problemer, der henvises til

bygning af figurer med regel og kompas; og teoremer, der henviser til demonstrationen af ​​de egenskaber, som nogle geometriske figurer.

Euklids femte postulat

Han udtaler, at "Hvis en ret linje, der falder på to andre rette linjer, gør de indre vinkler på samme side mindre end to rette linjer, så, hvis de to linjer forlænges i det uendelige, mødes de på den side, hvor vinklerne er mindre end to lige”. Hvis vinklerne var rigtige, så ville sådanne linjer ifølge definition nr. 23 være parallelle ("Parallelle linjer er linjer, der, hvis de er i samme plan og forlænges i det uendelige, ikke mødes i nogen retning.”).

Dette postulat, mere komplekst end de foregående, var ikke i sig selv uomtvisteligt: ​​det var ikke indlysende, at linjer på ubestemt tid, ville de skære hinanden på den side, hvor vinklerne var mindre end to rette vinkler, da det ikke ville være muligt at bevise det ved bygning. Så blev muligheden for, at linjerne nærmede sig hinanden i det uendelige uden nogensinde at krydse hinanden, åben.

Forsøg på at bevise det femte postulat

Det er af denne grund, at der fra antikken til midten af ​​det 19. århundrede var en stribe mislykkede forsøg på at bevise det femte postulat: et bevis blev altid opnået; men introducerer et andet yderligere postulat (logisk svarende til det femte), forskelligt fra Euklids. Det vil sige, at det femte postulat ikke kunne bevises, men blev erstattet af et tilsvarende.

Et eksempel på dette er postulatet af John Playfair (s. XVIII): "Et enkelt punkt parallelt med den linje passerer gennem et punkt uden for en linje, der er i samme plan." (kendt som "parallelt postulat”). Ikke-euklidiske geometrier opstår netop fra de mislykkede forsøg på at bevise det femte postulat i det euklidiske system.

Saccheris absurditetstest

I 1733 forsøgte den italienske matematiker Girolamo Saccheri at bevise det absurde i Euklids femte postulat. For at gøre dette byggede han en firkant (kendt som "Saccheris firkant”, hvor et par vinkler er rette vinkler) og anførte, at det femte postulat svarer til påstanden om, at karakteristiske vinkler (dem modsat parret af rette vinkler) af den firkant er også rette vinkler. så er der tre hypotese muligt, gensidigt udelukkende: at de to karakteristiske vinkler er rette, spidse eller stumpe. For at bevise det femte postulat med det absurde, var det nødvendigt at bevise (uden at ty til det femte postulerede), at hypoteserne om den stumpe og spidse vinkel indebar modsigelse og derfor var falsk.

Saccheri formåede at bevise, at hypotesen om stump vinkel er modstridende, men det lykkedes ham ikke i tilfældet med den spidse vinkel. Tværtimod udledte han en række sætninger i overensstemmelse med og uforenelige med euklidisk geometri. Til sidst konkluderede han, at i betragtning af disse teoremers mærkelighed må hypotesen være falsk. Følgelig mente han, at han havde bevist, at det femte postulat var absurd; Men hvad han gjorde, var utilsigtet at bevise et vigtigt sæt sætninger af ikke-euklidisk geometri.

Den "samtidige" opdagelse af ikke-euklidiske geometrier

Carl F. Gauss var i det nittende århundrede den første til at mistanke om, at det femte postulat ikke kunne bevises fra de andre fire (det vil sige, at det var uafhængigt) og ved at udtænke muligheden for en ikke-euklidisk geometri, der var baseret på de fire euklidiske postulater og på negationen af femte. Han offentliggjorde aldrig sin opdagelse: dette betragtes som et tilfælde af samtidig opdagelse, fordi han havde tre uafhængige referenter (Gauss selv, János Bolyai og Nikolai Lobachevsky).

Benægtelsen til femte lov af Euklidisk indebærer to muligheder (ved at tage den ækvivalente formulering af Playfair op): gennem et punkt uden for en lige linje, enten ingen parallelle afleveringer, eller mere end én parallelle afleveringer. Blandt de ikke-euklidiske geometrier finder vi f.eks. geometrien "imaginært" af Lobachevsky, - senere kendt som "hyperbolsk"- ifølge, "Givet et ydre punkt til en linje, passerer uendelige skærende linjer, uendelige ikke-skærende linjer og kun to parallelle linjer gennem det punkt.”, i modsætning til den unikke euklidiske parallel; eller Bernhard Riemanns elliptiske geometri, som siger, at "Gennem et punkt uden for en linje passerer ingen parallel til den linje.”.

Anvendelser og implikationer af opdagelsen

I øjeblikket er det kendt, at i det lokale rum giver begge geometrier omtrentlige resultater. Forskellene opstår, når det fysiske rum er beskrevet af en eller anden geometri, taget i betragtning af store afstande. Selvom vi fortsætter med at bruge euklidisk geometri, da det er den, der enklest beskriver vores rum på lokal skala, er opdagelsen af ikke-euklidiske geometrier var afgørende, for så vidt det betød en radikal transformation af forståelsen af ​​sandheder videnskabelig.

Indtil da mente man, at euklidisk geometri virkelig beskriver rummet. Når man beviste muligheden for at beskrive det gennem en anden geometri, med andre postulater, var det nødvendigt at genoverveje kriterierne for, at det var muligt at antage en eller anden forklaring som "rigtigt”.

Bibliografi

MARTINEZ LORCA, A. (1980) "Sokrates' etik og deres indflydelse på tanke Occidental”, i Revista Baética: Estudios de Arte, Geografi and History, 3, 317-334. Malaga Universitet.

Emner i ikke-euklidisk geometri