Hvad er Dirac-ligningen, og hvordan defineres den?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) foreslog i slutningen af ​​1928 en af ​​de ligninger med størst betydning og implikationer i den nuværende æras fysik, og det er fordi den forener kvantemekanikkens principper med principperne for kvantemekanik. relativitet.

Citat (APA)

Evelyn Maitee Marin | aug. 2022
Industriingeniør, MSc i fysik og EdD

Denne ligning kan udtrykkes på flere måder, den mest kompakte og forenklede er, hvad der anses for at være en af ​​de mest æstetiske ligninger i videnskaben:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Hvor:
i: imaginær enhed
m: elektronens hvilemasse
ħ: Plancks reducerede konstant
c: hastighed af lyset
: summeringsoperator af partielle afledte
: matematisk bølgefunktion af elektronen

Den absolutte værdi af kvadratet af bølgefunktionen repræsenterer sandsynlighed at finde partiklen i en bestemt position i betragtning af dens Energi, hastighed, blandt andre parametre, såvel som dens udvikling i tiden. Med andre ord bruger Paul Dirac-ligningen matricer, der virker på vektorer og repræsenterer en udvikling af Schrödinger-ligningen i relativistisk kvantefysik.

Dirac-ligningen blev oprindeligt brugt til at beskrive opførselen af ​​en elektron uden interaktion, selvom dens anvendelighed strækker sig til beskrivelse af subatomære partikler, når de bevæger sig med hastigheder tæt på lysets hastighed. Dirac formåede at forklare på subatomær skala den dobbelte opførsel af bølge og partikel, som allerede var kendt på det tidspunkt, da han overvejede partiklernes egenskaber såsom vinkelmomentum iboende eller spin.

Et andet af de væsentlige bidrag fra Dirac-ligningen er forudsigelsen af ​​antistof, hvis eksistens senere blev demonstreret (i 1932) af Carl D. Anderson ved hjælp af et skykammer, som han identificerede positronen med. Det forklarer også i vid udstrækning den fine struktur identificeret i atomare spektrallinjer.

Billedet viser det berømte fotografi taget under "Photons and Electrons"-konferencen i 1927, hvor nogle af de mest fremragende videnskabsmænd i historien er portrætteret. I den himmelske omkreds er Paul Dirac.

Dirac lignings baggrund

For at forstå de overvejelser, Dirac tog i udviklingen af ​​hans ligning, såvel som baseret på hans tilgang, er det vigtigt at kende teorierne forud for hans model.

For det første er der den berømte Schrödinger-ligning for kvantemekanik, udgivet i 1925, som konverterer mængder til kvanteoperatorer. Denne ligning bruger bølgefunktionen (), idet den tager udgangspunkt i den klassiske ligning for energi E = p2/2m og inkorporerer kvantiseringsreglerne for både momentum (p) og energi (OG):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Den partielle afledte /t udtrykker systemets udvikling med hensyn til tid. Det første led inden for den firkantede parentes refererer til Kinetisk energi (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), mens det andet led vedrører potentiel energi.

Bemærk: I Einsteins relativitetsteori skal variablerne rum og tid indgå ligeligt i ligninger, hvilket ikke er tilfældet i Schrödinger-ligningen, hvor tid optræder som en afledt, og position som en anden afledt.

Nu har videnskabsmænd i århundreder forsøgt at finde en model for fysik, der forener de forskellige teorier, og i tilfælde af Schrödingers ligning, tager højde for massen (m) og ladningen af ​​elektronen, men tager ikke hensyn til de relativistiske effekter, der manifesterer sig ved høj hastigheder. Af denne grund foreslog videnskabsmændene Oskar Klein og Walter Gordon i 1926 en ligning, der tager hensyn til relativitetsprincipperne:

\({\left( {ih\frac{\partial}{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Problemet med Klein-Gordon-ligningen er, at den er baseret på Einsteins, hvor energi er kvadreret, så denne (Klein-Gordon) ligning inkorporerer en kvadreret afledt med hensyn til tid, og dette indebærer, at den har to løsninger, der giver mulighed for negative værdier af tid, og det giver ingen mening fysisk. Ligeledes har det besværet med at generere sandsynlighedsværdier mindre end nul som løsninger.

I et forsøg på at løse de inkonsekvenser, der indebærer af negative løsninger af visse størrelser, som ikke understøtter disse resultater, startede Paul Dirac fra Klein-Gordon-ligningen til linearisere det, og i denne procedure introducerede han to parametre i form af matricer af dimension 4, kendt som Dirac eller også Pauli matricer, og som er en repræsentation af algebraen i spin. Disse parametre er angivet som  og ` (i energiligningen er de repræsenteret som E = pc + mc2):

Ved hvad er lighed er opfyldt, er betingelsen, at ´2 = m2c4

Generelt fører kvantiseringsreglerne til operationer med derivater, der gælder for skalarbølgefunktioner, dog som parametrene α og β er 4x4 matricer, differentialoperatorerne griber ind på en firedimensionel vektor (), kendt som spinor.

Dirac-ligningen løser det negative energiproblem, som Klein-Gordon-ligningen præsenterer, men en negativ energiløsning dukker stadig op; det vil sige partikler med egenskaber svarende til den anden opløsnings egenskaber, men med modsat ladning, kaldte Dirac dette for antipartikler. Endvidere er det med Dirac-ligningen vist, at spindet er resultatet af at anvende relativistiske egenskaber til kvanteverdenen.