Hvad er hierarki af operationer?

Operationshierarkiet er en matematisk konvention, der fastlægger den rækkefølge, hvori kombinerede beregningshandlinger skal udføres i det samme matematiske udsagn, det vil sige, når der er et matematisk udsagn, hvor der er matematiske operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division, potenser og rødder) kombineret, skal disse udføres i en bestemt rækkefølge for at nå frem til et resultat almindelige.

Men hvorfor er der brug for et hierarki? For at besvare det, skal vi først forstå naturen af ​​matematiske operationer, som består af en transformation, der anvendes på elementerne i en mængde. Lad os for eksempel tænke på mængden af ​​reelle tal, det vil sige de tal, som vi alle kender. Hvis vi tager et tal a og adderer det med et andet tal b, får vi et andet tal c, der hører til det samme sæt af reelle tal, dvs.

a+b = c

Derudover påvirker rækkefølgen, som tilføjelserne præsenteres i, ikke det endelige resultat, dvs a+b = b+a, kaldes denne egenskab for kommutativitet. Det er vigtigt at tale om addition, fordi det er den grundlæggende operation, som alle de andre er afledt af. En multiplikation er ikke andet end en række gentagne additioner. Hvis vi har et tal a igen, og vi ganger det med et tal b, er det, vi gør, nogle gange at lægge tallet b sammen med sig selv, eller alternativt lægge b gange tallet a med sig selv. Sidstnævnte er tilfældet, da multiplikation er kommutativ som addition, betyder dette, at:

a⋅b = b⋅a. Det førnævnte kan udtrykkes som:

Vi kan nemt visualisere dette med et eksempel. Lad os lave 5×2 multiplikationen:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Hvad nu hvis vi skal udføre en operation, hvor vi har kombineret addition med multiplikation? For eksempel: a⋅b+c. I hvilken rækkefølge skal addition og multiplikation udføres? Hvilken operation skal vi give fortrinsret til? Hvis vi udfører multiplikationen først og udvikler den som en sum, ville vi have:

Nu, hvis vi udførte additionen først og derefter multiplikationen, ville vi få:

Da addition er kommutativ, kan vi omgruppere højre side af ligningen for at få:

Ved at sammenligne resultaterne opnået i begge situationer er det let at indse, at:

Vi konkluderer herefter, at den rækkefølge, hvori det besluttes at udføre operationerne, påvirker det opnåede resultat. Det samme sker, når vi inddrager beføjelser. Når vi hæver et tal b til en potens c, er det, vi gør, at gange c gange tallet b med sig selv, det vil sige:

Vi fortsætter nu med at udføre følgende kombinerede operation, der involverer multiplikation og potens a⋅b^c i en anden rækkefølge, som vi gjorde i det foregående tilfælde. Hvis vi først prioriterer magt, har vi:

Nu, hvis vi udfører multiplikationen først og derefter potensen, ville vi have:

Ved at drage fordel af kommutativiteten af ​​multiplikation kan vi omgruppere højre side af ligningen som:

Igen kan vi sammenligne resultaterne opnået ved at udføre operationerne i en anden rækkefølge for at indse, at:

Også i dette tilfælde påvirker rækkefølgen, hvori operationerne udføres, det opnåede resultat. Så hvad er rækkefølgen, hvori operationerne skal udføres? Operationshierarkiet fastslår, at potenser er på et højere hierarkiniveau end multiplikationer, på en sådan måde, at magter har forrang i en matematisk udsagn. Til gengæld har multiplikationer et højere hierarkiniveau end additioner.

Men hvad med subtraktion, division og rødder? Subtraktion er den modsatte operation af addition, når vi trækker et tal b fra et tal a, får vi et andet tal c, således at c+b=a. Noget lignende sker med division og subtraktion. Hvis vi dividerer et tal a med et tal b og får et tal c som resultat, har vi fundet et tal, således at b⋅c=a. Og endelig, ved at beregne roden b af et tal a finder vi et tal c, således at c^b=a. Disse ækvivalenser sætter subtraktion, division og rod på samme hierarkiniveau som henholdsvis addition, multiplikation og potens.

Praksis for parenteser og parenteser

Hvad sker der nu, hvis vi ønsker at prioritere nogle operationer i en matematisk erklæring uanset deres hierarkiniveau? For at gøre dette bruges parenteser og firkantede parenteser. Antag, at vi har udsagnet om princippet a⋅b+c. Med det, vi har sagt før, ved vi allerede, at vi først skal udføre multiplikationen og derefter additionen. Men hvad nu hvis vi ønskede, at det ikke skulle være tilfældet? For at gøre dette skal vi bruge parenteser eller firkantede parenteser til at adskille additionen fra multiplikationen og dermed prioritere at beregne additionen først, altså: a⋅(b+c). Dette får udsagn adskilt af parenteser og firkantede parenteser til at have højeste prioritet over alle andre operationer.

Med alt det nævnte ovenfor er hierarkiet af operationer, eller den rækkefølge, de skal udføres i, som følger:

1) Parentes og parentes
2) Kræfter og rødder
3) Multiplikationer og divisioner
4) Addition og subtraktion

Referencer

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Grundlæggende om matematik: bind I. Cambridge, Massachusetts og London: The MIT Press.