Definition af kvadratisk funktion
Hæmning Strengteori / / April 02, 2023
Master of Mathematics, Dr. of Science
En andengradsfunktion af en reel variabel, hvis form er udtrykt.
\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)
Hvor variablen er \(x\), er \(a, b\) og c reelle konstanter, kaldet koefficienter for den kvadratiske funktion med \(a \ne 0.\)
Tabellen fremfører generelle eksempler på kvadratiske funktioner og den situation, de kan modellere, for senere at illustrere deres direkte anvendelse fra virkelige problemer.
Kvadratisk funktion | Situation du kan modellere |
---|---|
\(f\venstre( x \højre) = {x^2}\) | Variablen \(y\) er arealet af et kvadrat, hvis side måler \(x\). |
\(f\venstre( x \højre) = \pi {x^2}\) | Variablen \(y\) er arealet af en cirkel, hvis radius er \(x\). |
\(f\venstre( x \højre) = 100 – 4,9{x^2}\) | Variablen \(y\) er højden af et objekt, der blev tabt i en højde på 100, og \(x\) er den forløbne tid. |
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\) | Variablen \(y\) er højden af en kanonkugle kastet i en vinkel på 45° med en hastighed på 60 m/s og \(x\) er den forløbne tid. |
Den generelle formel og den kvadratiske funktion
Hvis den andengradsfunktion for \(x = \alpha \) er nul, så er tallet \(\alpha \) kaldes roden af andengradsfunktionen, ja, \(\alpha \) er løsningen af andengradsligningen
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Den generelle formel til at løse andengradsligninger har vi, at rødderne til en andengradsfunktion er:
\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)
Fra ovenstående etableres følgende forhold mellem rødderne og koefficienterne for den kvadratiske funktion:
\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)
Gennem bemærkelsesværdige produkter etableres følgende identitet:
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)
På samme måde som den, der er etableret i den generelle formel, er det fastslået, at den kvadratiske funktion kan udtrykkes i formen:
\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)
Med \(h = – \frac{b}{{2a}}\) og \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)
Ved at løse ligningen:
\(a{\venstre( {x – h} \right)^2} + k = 0\)
Fås:
\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)
\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)
Ud fra ovenstående kan det konkluderes, at \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), kun hvis konstanterne \(k\) og \(a\) er af modsatte fortegn har denne kvadratiske funktion reelle rødder, som er: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).
Hvis konstanterne \(k\) og \(a\) har samme fortegn, har den kvadratiske funktion ingen reelle rødder.
Når \(k = 0,\;\;\) har den kvadratiske funktion kun én rod.
Eksempler anvendt til det virkelige liv
Anvendelseseksempel 1: Økonomi
En skole ønsker at arrangere en fodboldturnering, hvor hvert hold kun spiller mod hvert af de andre hold én gang. Der er et budget på $15.600 til omkostningerne ved voldgift, hvis omkostningerne ved voldgift er $200 pr. spil. Hvor mange hold kan tilmelde sig turneringen?
Problemformulering: Vi skal finde en funktion, der beregner antallet af matches, når vi har \(n\) hold for at tælle dem vil vi antage, at hold 1 spiller først med alle de andre, det vil sige \(n – 1\) Tændstikker. Hold 2 ville nu spille med alle de andre, det vil sige med \(n – 2\), da de allerede vil have spillet med hold 1. Hold 3 vil allerede have spillet med hold 1 og 2, så de skulle spille med n-3 hold.
Med ovenstående begrundelse kommer vi frem til:
\(f\venstre( n \højre) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)
\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)
Omkostningsfunktionen er:
\(C\venstre( n \højre) = 200f\venstre( n \højre) = 100n\venstre( {n – 1} \højre)\)
Med et budget på $15.600 har vi ligningen:
\(100n\venstre( {n – 1} \right) = 15600\)
løsning af ligningen
\(100n\venstre( {n – 1} \right) = 15600\) Indledende situation
\(n\venstre( {n – 1} \right) = 156\) Divider hver side af ligningen med 100
\({n^2} – n – 156 = \) Tilføj \( – 156\) til hver side af ligningen
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) og \( – 13 + 12 = – 1\)
Det blev indregnet.
Løsninger af ligningen \(n = – 12,\;13\)
Svar: Budgettet rækker til, at 13 hold kan tilmelde sig.
Anvendelseseksempel 2: Økonomi
Et storbybusselskab har observeret, at hver af dens busser på en otte-timers dag i gennemsnit transporterer tusinde passagerer. For at være i stand til at give dine medarbejdere en lønforhøjelse, skal du øge din billetpris, som i øjeblikket er $5; En økonom beregner, at for hver peso, som prisen stiger, vil hver lastbil i gennemsnit miste 40 passagerer hver dag. Selskabet har beregnet, at det for at dække lønstigningen skal skaffe yderligere 760 $ pr. lastbil hver dag. Hvor meget skal prisen stige?
Udtalelse af problemet: Lad \(x\) være mængden af pesos, som billetten vil stige i, for hvilken \(5 + x\) er den nye pris for billetten. Med denne samme stigning vil hver lastbil i gennemsnit transportere \(1000 – 40x\) passagerer om dagen.
Endelig er omsætningen pr. lastbil:
\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right)\)
For at dække lønstigningen skal hver bus indsamle: \(1000\venstre( 5 \right) + 760 = 5760\)
Til sidst har vi ligningen:
\( – 40\venstre( {x + 5} \højre)\venstre( {x – 25} \højre) = 5760\)
løsning af ligningen
\( – 40\venstre( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Indledende situation
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Divider med \( – 40\) hver side af ligningen
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Det bemærkelsesværdige produkt blev udviklet
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 blev tilføjet til hver
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ højre) = 19\) og \( – 19 – 1 = – 20\)
faktoriseret
Løsninger af ligningen \(n = 1,19\)
Svar: Billetprisen kan stige $1 eller $19 pesos.
Anvendelseseksempel 3: Økonomi
En brødbutik sælger i gennemsnit 1.200 rundstykker om ugen for 6 USD stykket. En dag besluttede han at hæve prisen til $9 pr. styk; nu er hendes salg faldet: hun sælger kun i gennemsnit 750 ruller om ugen. Hvad skal prisen på hver bolle være, så salgsstedets omsætning er højest mulig? Antag, at der er en lineær sammenhæng mellem efterspørgsel og pris.
Problemformulering: Forudsat at der er en lineær sammenhæng mellem efterspørgsel D og pris \(x,\) da
\(D = mx + b\)
Når \(x = 6;D = 1200;\;\), som genererer ligningen:
\(1200 = 6m + b\)
Når \(x = 9;D = 750;\;\) lo og ligningen opnås:
\(750 = 9m + b\)
Løsning af ligningssystemet er forholdet mellem efterspørgsel og pris:
\(D = – 150x + 2100 = – 150\venstre( {x – 14} \højre)\)
Indkomsten er lig med
\(I\venstre( x \højre) = Dx = – 150x\venstre( {x – 14} \højre)\)
Løsning
Grafen for indkomst i en parabel, der åbner nedad, og dens maksimale værdi nås ved toppunktet på som kan findes ved at beregne et gennemsnit af rødderne af den kvadratiske funktion, der modellerer indkomst. Rødderne er \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).
\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)
\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)
Svar
Den maksimale indtægt er $7.350 og opnås med en pris på $7; sælger i gennemsnit 1050 ruller om ugen.
Anvendelseseksempel 4: Økonomi
Omkostningerne til fremstilling af \(n\) stole på en dag kan beregnes med den kvadratiske funktion:
\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)
Bestem den minimumsomkostning, der kan opnås.
Problemformulering
Grafen for \(C\left( n \right)\) er en parabel, der åbner opad og vil nå sit minimumspunkt ved \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ venstre( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)
\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)
Svar
Den lavest mulige pris er lig med $3000 og opnås ved at fremstille 100 stole.
Anvendelseseksempel 5: Geometri
En rombe har et areal på 21 cm2; Hvis summen af længderne af dens diagonaler er 17 cm, hvad er længden af hver diagonal på romben?
Problemformulering: Arealet af en rombe beregnes med:
\(A = \frac{{Dd}}{2}\)
Med \(D\) og \(d\) længden af dens diagonaler, er det også kendt:
\(D + d = 7\)
\(D = 17 – d\)
Ved at erstatte får du:
\(A = \frac{{\venstre( {17 – d} \right) d}}{2}\)
Til sidst får vi ligningen
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)
Løsning
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Indledende situation
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Multiplicer med \( – 40\) hver side af ligningen
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produktet blev udviklet.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ højre) = 42\) og \( – 14 – 3 = – 17\)
faktoriseret
Løsninger af ligningen \(d = 3,14\)
Svar:
Rombens diagonaler måler 14 cm og 3 cm.
Anvendelseseksempel 6: Geometri
Det ønskes at bygge et rektangulært hønsehus på 140 m2, idet man udnytter et ret langt hegn, der skal danne bunden af hønsegården. De øvrige tre sider bliver bygget med 34 lineære meter trådnet, hvor meget skal længden og bredden på hønsegården være for at bruge det samlede masker?
Under de samme forhold, hvad er det maksimale areal, der kan indhegnes med samme net?
Problemformulering: Ifølge diagrammet er arealet lig med:
\(A\venstre( x \højre) = x\venstre( {34 – 2x} \højre) = 2x\venstre( {17 – x} \højre)\)
Hvor \(x\) er længden af siden vinkelret på hegnet.
For at kende målingerne af rektanglet, så det har et areal på 140 m2, er det nok at løse ligningen
\(2x\venstre( {17 – x} \right) = 140\)
Da grafen for \(A\left( x \right)\) er en parabel, der åbner nedad for at beregne arealets maksimale værdi, er det nok at beregne parablens toppunkt.
Svar
Mål af rektanglet med areal 140 m2
Længde af siden vinkelret på hegnet
\(x\) Længde af siden parallelt med hegnet
\(34 – 2x\)
10 14
7 20
Den første koordinat af toppunktet er \(h = \frac{{17}}{2}\) og
\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)
Arealet er maksimalt, når den vinkelrette side måler \(\frac{{17}}{2}\;\)m og den parallelle side måler 17m, den måler 17m, værdien af det maksimale areal, der nås, er \(\frac{ {289}} {2}\)m2.
Graf over en andengradsfunktion
Fra et geometrisk synspunkt er rødderne de punkter, hvor grafen for en funktion skærer \(x\)-aksen.
Fra udtrykket
\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)
Vi vil etablere den generelle form for grafen for en kvadratisk funktion.
Første tilfælde \(a > 0\) og \(k > 0\)
\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)
\(x\) | \(f\venstre( x \højre)\) |
---|---|
\(h – 1\) | \(a + k\) |
\(h – 2\) | \(4a + k\) |
\(h – 3\) | \(9a + k\) |
\(h – 4\) | \(16a + k\) |
\(h\) | \(k\) |
\(h + 1\) | \(a + k\) |
\(h + 2\) | \(4a + k\) |
\(h + 3\) | \(9a + k\) |
\(h + 4\) | \(16a + k\) |
I dette tilfælde opfylder grafen:
Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil sige \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)
Den er over \(x\)-aksen og skærer den ikke. Det vil sige, \(f\venstre( x \højre) > 0\) har ingen reelle rødder.
Det laveste punkt på grafen er i punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil sige \(f\venstre( x \højre) \ge f\venstre( h \højre) = k\)
Andet tilfælde \(a < 0\) og \(k < 0\)
\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)
\(x\) | \(f\venstre( x \højre)\) |
---|---|
\(h – 1\) | \(a + k\) |
\(h – 2\) | \(4a + k\) |
\(h – 3\) | \(9a + k\) |
\(h – 4\) | \(16a + k\) |
\(h\) | \(k\) |
\(h + 1\) | \(4a + k\) |
\(h + 2\) | \(9a + k\) |
\(h + 3\) | \(4a + k\) |
\(h + 4\) | \(16a + k\) |
I dette tilfælde opfylder grafen:
Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil sige \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)
Den er under \(x\)-aksen og skærer den ikke. Det vil sige, \(f\venstre( x \højre) < 0\) har ingen reelle rødder. Det højeste punkt på grafen er i punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil sige \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Tredje tilfælde \(a > 0\) og \(k \le 0\).
Dette tilfælde ligner det første tilfælde, forskellen er, at nu har vi en reel rod (når \(k = 0\) ) eller to reelle rødder.
I dette tilfælde opfylder grafen:
Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil sige \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)
Den skærer \(x\)-aksen, det vil sige, at den har mindst én reel rod.
Det laveste punkt på grafen er i punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil sige \(f\venstre( x \højre) \ge f\venstre( h \højre) = k\)
Fjerde tilfælde \(a < 0\) og \(k \ge 0\). Dette tilfælde ligner det andet tilfælde, forskellen er, at nu har vi en reel rod (når \(k = 0\) ) eller to reelle rødder. I dette tilfælde opfylder grafen:
Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil sige \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)
Det laveste punkt på grafen er i punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil sige \(f\venstre( x \højre) \le f\venstre( h \højre) = k\)
Grafen for en kvadratisk funktion kaldes en parabel, og dens elementer, der skal fremhæves, er symmetriaksen, de punkter, hvor den skærer til \(x\)-aksen og toppunktet, som er det punkt på funktionens graf, hvor den når sit laveste eller højeste punkt afhængigt af sag.
På baggrund af den gennemførte analyse kan vi oplyse:
Parablen forbundet med den kvadratiske funktion \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) har sit toppunkt ved \(\left( {h, k} \right)\) hvor :
\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\venstre( h \right)\)
eksempler
Kvadratisk funktion \(y = {x^2}\) | vigtige elementer |
---|---|
Parablens toppunkt | \(\left( {0,0} \right)\) |
Symmetriakse af parablen | \(x = 0\) |
Skærer med \(x\)-aksen | \(\left( {0,0} \right)\) |
Kvadratisk funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\) | vigtige elementer |
---|---|
Parablens toppunkt | \(\left( {2,0} \right)\) |
Symmetriakse af parablen | \(x = 2\) |
Skærer med \(x\)-aksen | \(\left( {2,0} \right)\) |
Kvadratisk funktion \(y = {\venstre( {x + 2} \right)^2} – 4\) | vigtige elementer |
---|---|
Parablens toppunkt | \(\left( { – 2, – 4} \right)\) |
Symmetriakse af parablen | \(x = – 2\) |
Skærer med \(x\)-aksen | \(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\) |
Kvadratisk funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\) | vigtige elementer |
---|---|
Parablens toppunkt | \(\left( {9,8} \right)\) |
Symmetriakse af parablen | \(x = 9\) |
Skærer med \(x\)-aksen | \(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\) |
Kvadratisk funktion \(y = {x^2} + 1\) | vigtige elementer |
---|---|
Parablens toppunkt | \(\left( {0,1} \right)\) |
Symmetriakse af parablen | \(x = 0\) |
Skærer med \(x\)-aksen | Har ikke |
Kvadratisk funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\) | vigtige elementer |
---|---|
Parablens toppunkt | \(\left( {2, – 1} \right)\) |
Symmetriakse af parablen | \(x = 2\) |
Skærer med \(x\)-aksen | Har ikke |
Hvis de rigtige rødder af en kvadratisk funktion eksisterer, kan vi tegne dens tilhørende parabel ud fra dem. Antag, at \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta} \right)\)
Til dette skal følgende tages i betragtning:
\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)
\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)
Som
\(k = f\venstre( h \højre)\)
\(k = f\venstre( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)
\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \right)\)
\(k = – \frac{a}{4}{\venstre( {\alpha – \beta} \right)^2}\)
eksempler
Tegn grafen for den kvadratiske funktion \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)
Løsning
Rødderne er \(\alpha = 3\;\) og \(\beta = – 6\); derefter \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).
\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)
Så vi kan bygge følgende tabel
\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\) | vigtige elementer |
---|---|
Parablens toppunkt | \(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\) |
Symmetriakse af parablen | \(x = – \frac{{81}}{2}\) |
Skærer med \(x\)-aksen | \(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\) |
Sådan skitserer du grafen for funktionen:
\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)
Vi vil bruge de samme ideer, som vi allerede har brugt; Til dette vil vi først bestemme toppunktet.
I dette tilfælde \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).
Siden \(a > 0\), vil parablen "åbnes og \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\venstre ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Dernæst beregner vi \(k:\)
\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)
Parablens toppunkt er ved \(\left( {3, – 23} \right)\) og da den åbner opad, så vil parablen skære \(x\;\)-aksen og dens symmetriakse er \ (x = 3\).
Lad os nu overveje den kvadratiske funktion
\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)
I dette tilfælde \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).
Da \(a < 0\), vil parablen "åbne" nedad og \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Dernæst vil vi beregne \(k:\) \(k = f\venstre( h \højre) = f\venstre( 1 \højre) = - 5{\venstre( 1 \højre)^2} + 10\venstre( 1 \ højre) - 9 = - 4\) Toppunktet af parablen er ved \(\left( {1, - 4} \right)\), og da den åbner nedad, vil parablen ikke skære \(x\;\)-aksen, og dens symmetriakse er \(x = 1.\)