Definition af geometrisk progression

En talfølge \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Det kaldes en geometrisk progression, hvis hvert element, startende fra det andet, opnås fra multiplikationen af ​​det foregående med et tal \(r\ne 0\), det vil sige, hvis:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Hvor:
- Tallet \(r\) kaldes forholdet mellem den geometriske progression.
- Elementet \({{a}_{1}}\) kaldes det første element i den aritmetiske progression.

Elementerne i den geometriske progression kan udtrykkes i form af det første element og dets forhold, det vil sige:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

De er de første fire elementer i den aritmetiske progression; generelt udtrykkes \(k-\)te element som følger:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Når \({{a}_{1}}\ne 0,~\) af det foregående udtryk får vi:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Ovenstående udtryk svarer til:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Eksempel/øvelse 1. Find forskellen på den aritmetiske progression: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​og find elementerne \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Løsning

Da \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) kan vi konkludere, at forholdet er:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Eksempel/øvelse 2. I en aritmetisk progression har vi: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), bestem forholdet mellem den geometriske progression og skriv de første 5 elementer.

Løsning

Iført

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

At finde de første 5 elementer i den aritmetiske progression; vi beregner \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

De første 5 elementer i den geometriske progression er:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Eksempel/øvelse 3. Et tyndt glas absorberer 2% af det sollys, der passerer gennem det.

til. Hvor stor en procentdel af lys vil passere gennem 10 af disse tynde glas?

b. Hvor stor en procentdel af lys vil passere gennem 20 af disse tynde glas?

c. Bestem den procentdel af lys, der passerer gennem \(n\) tynde glas med de samme karakteristika, placeret efter hinanden.

Løsning

Vi vil repræsentere det samlede lys med 1; ved at absorbere 2% af lyset, så går 98% af lyset gennem glasset.

Vi vil med \({{a}_{n}}\) repræsentere den procentdel af lys, der passerer gennem glasset \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Generelt \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

til. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); hvilket fortæller os, at efter glas 10 passerer 81,707% af lyset

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); hvilket fortæller os, at efter glas 20 passerer 66,761 %

Summen af ​​de første \(n\) elementer i en geometrisk progression

Givet den geometriske progression \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Når \(r\ne 1\) er summen af ​​de første \(n\) elementer, summen:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Det kan beregnes med

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Eksempel/øvelse 4. Ud fra eksempel 2 beregn \({{S}_{33}}\).

Løsning

I dette tilfælde \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) og \(r=-4\)

ansøger

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Eksempel/øvelse 5. Antag, at en person uploader et billede af sit kæledyr og deler det med 3 af sine venner på et socialt internetnetværk, og om en time hver af dem, deler fotografiet med tre andre personer, og så deler sidstnævnte, om en time mere, hver af dem fotografiet med 3 andre mennesker; Og sådan fortsætter det; hver person, der modtager billedet, deler det med 3 andre personer inden for en time. Hvor mange mennesker har allerede fotografiet om 15 timer?

Løsning

Følgende tabel viser de første beregninger
Tid Personer, der modtager fotografiet Personer, der har fotografiet
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Antallet af personer, der modtager fotografiet i timen \(n\) er lig med: \({{3}^{n}}\)

Antallet af personer, der allerede har fotografiet i timen, er lig med:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

ansøger

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Med \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) og \(n=15\)

Hvorved:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometriske midler

Givet to tal \(a~\) og \(b,\) tallene \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) kaldes \(k\) geometriske middelværdier af tallene \(a~\) og \(b\); hvis sekvensen \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{k+1}},b\) er en geometrisk progression.

For at kende værdierne af \(k\) geometriske middel af tallene \(a~\) og \(b\), er det nok at kende forholdet mellem den aritmetiske progression, for dette skal følgende overvejes:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Ud fra ovenstående fastslår vi forholdet:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Løser vi for \(d\), får vi:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Eksempel/øvelse 6. Find 2 geometriske middelværdier mellem tallene -15 og 1875.

Løsning

Ved ansøgning

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

med \(b=375,~a=-15\) og \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

De 3 geometriske middel er:

\(75,-375\)

Eksempel/øvelse 7. En person investerede penge og modtog renter hver måned i 6 måneder, og hans kapital steg med 10%. Hvis vi antager, at satsen ikke ændrede sig, hvad var den månedlige rente?

Løsning

Lad \(C\) være den investerede kapital; den endelige kapital er \(1.1C\); For at løse problemet skal vi placere 5 geometriske middel ved at anvende formlen:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Med \(k=5,~b=1.1C\) og \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Den modtagne månedlige sats var \(1,6%\)