Definition af blandede, enheds-, homogene og heterogene fraktioner

Blandet. En blandet brøk består af et heltal større end eller lig med en og en egen brøk, den generelle stavning af en brøk blandet har formen: \(a + \frac{c}{d},\) hvis kompakte skrift er: \(a\frac{c}{d},\;\), det vil sige: \(a\ brøk{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Tallet \(a\) kaldes heltalsdelen af ​​den blandede brøk og \(\frac{c}{d}\) kaldes dens brøkdel.

homogen. Hvis to eller flere brøker har samme nævner, siges de at være som brøker. For eksempel brøkerne \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) er homogene, fordi de alle har den samme nævner, som i dette tilfælde er \(4\). Mens brøkerne \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) er ikke homogene brøker, da nævneren af ​​\(\frac{5}{2}\) er \(2\) og nævneren for de andre brøker er \(4\). En af fordelene ved de homogene brøker er, at de aritmetiske operationer med addition og subtraktion af funktioner er meget enkle.

heterogen. Hvis to eller flere fraktioner, mindst to af dem ikke har samme nævner, siges disse fraktioner at være heterogene fraktioner. Følgende brøker er heterogene: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

enhed. En brøk identificeres som en enhed, hvis tælleren er lig med 1 \(1,\) \(2\). Følgende brøker er eksempler på enhedsbrøker: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Verbal udtryk for en blandet fraktion

blandet fraktion	Verbal udtryk
\(3\frac{1}{2} = \)	Tre en halv hel
\(5\frac{3}{4} = \)	Fem heltal og tre fjerdedele
\(10\frac{1}{8} = \)	Ti heltal med en ottendedel

Konvertering af en blandet fraktion til en uægte fraktion

Blandede fraktioner er nyttige til estimering, for eksempel er det nemt at fastslå:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Blandede brøker er dog normalt upraktiske at udføre operationer som multiplikation og division, hvorfor det er vigtigt, hvordan man konverterer til en blandet brøk.

Den foregående figur repræsenterer den blandede brøk \(2\frac{3}{4}\), nu er hvert heltal sammensat af fire fjerdedele, så i 2 heltal er der 8 fjerdedele og til disse skal vi lægge de andre 3 fjerdedele, dvs. sige:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Generelt:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Følgende tabel viser andre eksempler.

blandet fraktion	Operationer, der skal udføres	ukorrekt fraktion
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Konvertering af en uægte brøk til en blandet brøk

For at konvertere en uægte brøk til en blandet brøk skal du beregne kvotienten og resten af ​​dividere tælleren med nævneren. Den opnåede kvotient vil være heltalsdelen af ​​den blandede brøk, og den rigtige brøk vil være \(\frac{{{\rm{rest}}}}{{{\rm{nævner}}}}\)

Eksempel

Sådan konverteres \(\frac{{25}}{7}\) til en blandet brøk:

Til de udførte operationer opnår vi:

Tabellen nedenfor viser andre eksempler.

ukorrekt fraktion	Beregning af kvotienten og resten	ukorrekt fraktion
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Daglig brug af blandede og rigtige fraktioner

I hverdagen skal vi måle, købe, sammenligne priser, tilbyde rabatter; for at måle har vi brug for måleenheder, og de tilbyder ikke altid hele enheder af produkterne, og du betaler ikke altid med en hel mængde mønter af en enhed.

For eksempel er det almindeligt, at visse væsker sælges i beholdere, hvis indhold er \(\frac{3}{4}\;\) på en liter, en halv gallon eller halvanden gallon. Måske når du køber et rør, beder du om \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\), og du behøver ikke at sige måleenheden, som i dette tilfælde er tomme.

Grundlæggende operationer af lignende brøker

Summen af ​​\(\frac{3}{4}\) og \(\frac{2}{4}\), er eksemplificeret i følgende skema:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Mens subtraktionen udføres som følger:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Generelt for homogene fraktioner:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egypterne og enhedsbrøker

Den egyptiske kultur opnåede en bemærkelsesværdig teknologisk udvikling, og dette ville ikke være sket uden en udvikling på niveau med matematikken. Der er historiske levn, hvor du kan finde optegnelser om brugen af ​​fraktioner i egyptisk kultur, med en særlig karakter, de brugte kun enhedsbrøker.

Der er flere tilfælde, hvor det er så simpelt at skrive en brøk som summen af ​​enhedsbrøker

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

I det tilfælde at \(n = 2q + 1\), det vil sige ulige, har vi det:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Vi vil illustrere dette med to eksempler.

At udtrykke \(\frac{2}{{11}}\); i dette tilfælde har vi \(11 = 2\venstre( 5 \højre) + 1\), derfor:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

det vil sige,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

At udtrykke \(\frac{2}{{17}}\); i dette tilfælde har vi \(17 = 2\venstre( 8 \højre) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Dernæst viser vi nogle brøker som summen af ​​enhedsbrøker,

Brøk	Udtryk som sum af enhedsbrøker	Brøk	Udtryk som sum af enhedsbrøker
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Ved at bruge den foregående tabel kan vi tilføje brøker og udtrykke sådanne summer; som summen af ​​enhedsbrøker.

Eksempler på heterogene fraktioner

Eksempel 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Eksempel 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Endelig kan vi udtrykke den samme brøk som summen af ​​enhedsbrøker på en anden måde som:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)