Definition af ækvivalente fraktioner

To eller flere fraktioner siges at være ækvivalente, hvis de repræsenterer den samme mængde, det vil sige hvis
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
brøkerne \(\frac{a}{b}\) og \(\frac{c}{d}\) siges at være ækvivalente.

Ækvivalente brøker: Grafisk repræsentation

Overvej firkanten, som vi vil opdele i fjerdedele, tredjedele, ottendedele og tolvtedele.

Fra de foregående figurer bemærker vi følgende ækvivalenser:

Hvordan får man en eller flere ækvivalente fraktioner?

Der er to grundlæggende metoder til at opnå en fraktion svarende til en given fraktion.

1. Gang tælleren og nævneren med det samme positive tal.

Eksempler:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Den er divideret med den samme positive fælles divisor af tælleren og nævneren.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Når både tælleren og nævneren i en brøk divideres med den samme fælles divisor bortset fra 1, siger man, at brøken er reduceret.

irreducerbare fraktioner

En brøk kaldes en irreducerbar brøk, hvis den største fælles divisor af tælleren og nævneren er lig med 1.

Hvis \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) kaldes brøken \(\frac{a}{b}\) en irreducerbar brøk.

Givet en brøk \(\frac{a}{b}\) for at opnå en brøk, der svarer til denne brøk, og som også er en irreducerbar brøk tælleren og tælleren divideres med den største fælles divisor af \(a\;\) og af \(b.\)

Følgende tabel viser eksempler på irreducerbare og reducerbare fraktioner; hvis den er reducerbar, viser den, hvordan man opnår en irreducerbar ækvivalent fraktion.

Brøk	Største fælles divisor	Ureducerbar	irreducerbar ækvivalent fraktion
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Ingen	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Ja	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Ingen	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Ja	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Ingen	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ækvivalente brøker: verbal repræsentation.

Følgende tabel viser to forskellige måder at vise tilsvarende information på, set fra et numerisk synspunkt.

Verbal sætning	Tilsvarende sætning (numerisk)	Argumentation
I 1930 talte 4 personer ud af 25 personer i Mexico et modersmål.	I 1930 talte 16 mennesker ud af 100 mennesker i Mexico et modersmål.	Begge data blev ganget med 4
I 1960, i Mexico, talte 104 mennesker ud af hver 1.000 mennesker et modersmål.	I 1960 talte 13 mennesker ud af 125 mennesker i Mexico et modersmål	Begge data blev divideret med 8.

Ækvivalente brøker: Decimalrepræsentation

Tabellen nedenfor viser forskellige decimaltal og ækvivalente brøker, der repræsenterer dem.

Decimaltal	Brøk	tilsvarende fraktion	Operationer
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ækvivalente brøker: Repræsentation i procent

Tabellen nedenfor viser forskellige decimaltal og ækvivalente brøker, der repræsenterer dem.

Decimaltal	Brøk	tilsvarende fraktion	Operationer
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ækvivalente fraktioner: Fra heterogen til homogen

Givet to heterogene brøker \(\frac{a}{b}\) og \(\frac{c}{d}\), kan vi finde to brøker homogen på en sådan måde, at den ene brøk svarer til brøken \(\frac{a}{b}\;\) og den anden til brøken \(\frac{c}{d}\).

Dernæst vil vi vise to procedurer til at udføre det, der er nævnt i det foregående afsnit.

Lad os observere:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Følgende tabel viser nogle eksempler.

F. heterogen	Operationer	F. homogen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Ulempen ved denne metode er, at der kan produceres meget store antal i processen; I mange tilfælde er det muligt at undgå det, hvis det mindste fælles multiplum af nævnerne beregnes, og den anden metode er baseret på beregningen af ​​det mindste fælles multiplum.

Mindste fælles multiplum ved beregning af brøker

Dernæst gennem to eksempler, hvordan man opnår homogene brøker ved at bruge det mindste fælles multiplum af nævnerne, som vil være fællesnævneren for de involverede brøker.

Overvej brøkerne: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Det mindste fælles multiplum af \(12\) og \(18\) er \(36\); nu

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Overvej nu brøkerne: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Det mindste fælles multiplum af \(10\), \(14\) og \(3\) er \(140\); nu

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Fra de foregående figurer bemærker vi følgende faktum:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Her er andre eksempler.

F. heterogen	min fællesnævnere	Operationer	F. homogen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)