Definition af kvadratisk/kvartsligning

En andengradsligning eller, i modsat fald, en andengradsligning, med hensyn til en ukendt, udtrykkes i formen:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Hvor det ukendte er \(x\), så længe \(a, b\) og c er reelle konstanter, med \(a \ne 0.\)

Der er flere teknikker til at løse andengradsligninger, herunder faktorisering, i hvilket tilfælde vi skal tage hensyn til følgende egenskab i henhold til opløsningen:

Hvis produktet af to tal er nul, er der to muligheder:

1. Begge er lig nul.
2. Hvis den ene er ikke-nul, er den anden nul

Ovenstående kan udtrykkes som følger:
Hvis \(pq = 0\) så \(p = 0\) eller \(q = 0\).

Praktisk eksempel 1: løs ligningen \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Indledende situation
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Tilføj 8 til begge sider af ligningen for at løse for \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Kvadratroden opnås ved at se efter at isolere \(x.\) 8 er faktoriseret, og egenskaber af radikaler og magter anvendes.
\(\venstre| x \højre| = 2\sqrt 2 \)	Du får roden af ​​\({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Løsningerne af \({x^2} – 8\)=0 er:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktisk eksempel 2: Løs ligningen \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Indledende situation
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Kvadratroden af ​​144 er 12. En forskel på kvadrater er identificeret.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Forskellen på kvadrater er indregnet
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Vi overvejer muligheden for, at faktoren \(x + 12\) er lig med 0. Den opnåede ligning er løst.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Vi betragter muligheden for, at faktoren \(x – 12\) er lig med 0. Den opnåede ligning er løst.

Løsningerne af ligningen \({x^2} – 144 = 0\) er

\(x = – 12,\;12\)

Praktisk eksempel 3: løs ligningen \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Indledende situation
\(x\venstre( {x + 3} \højre) = 0\)	\(x\) identificeres som en fælles faktor, og faktoriseringen udføres.
\(x = 0\)	Overvej muligheden for, at faktoren \(x\) er lig med 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Vi betragter muligheden for, at faktoren \(x – 12\) er lig med 0. Den opnåede ligning er løst.

Løsningerne af ligningen \({x^2} + 3x = 0\), er:
\(x = – 3,0\)

Praktisk eksempel 4: Løs ligningen \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Indledende situation
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Kvadratroden af ​​49 er 7 og \(2x\venstre( 7 \højre) = 14x.\) Et perfekt kvadratisk trinomium identificeres.
\({\venstre( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Det perfekte kvadratiske trinomium udtrykkes som et kvadratisk binomium.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Løsningen af ​​\({x^2} – 14x + 49 = 0\) er:
\(x = 7\)

Praktisk eksempel 5: Løs ligningen \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Indledende situation
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produktet \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Det er udtrykt som \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\venstre( {5x – 4} \højre) – 3\venstre( {5x – 4} \højre) = 0\)	Identificer \(2x\) som en fælles faktor i den første tilføjelse og faktor den. Identificer \( – 3\) som en fælles faktor i den anden tilføjelse og faktor den.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Faktor den fælles faktor \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Vi overvejer muligheden for, at faktoren \(5x – 12\) er lig med 0. Den opnåede ligning er løst.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Overvej muligheden for, at faktoren \(2x – 3\) er lig med 0. Den opnåede ligning er løst.

Løsningerne af \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) er:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktisk eksempel 6: Løs ligningen \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Indledende situation Trinomialet er ikke et perfekt kvadrat
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Tilføj -1 til hver side af ligningen.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Da \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) ved at tilføje \({2^2}\), får vi et perfekt kvadrat.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Tilføj \({2^2}\;\) til hver side af ligningen. Venstre side er en perfekt firkant.
\({\venstre( {x + 2} \right)^2} = 3\)	Det perfekte kvadratiske trinomium udtrykkes som et kvadratisk binomium.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Tag kvadratroden af ​​hver side af ligningen
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Løs for \(x\).

Løsningerne af \({x^2} + 4x + 1 = 0\) er:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktisk eksempel 7: Løs ligningen \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Indledende situation Trinomialet er ikke et perfekt kvadrat.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Tilføj 1 til hver side af ligningen
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Multiplicer med hver side af ligningen, så koefficienten for \({x^2}\) er lig med 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produktet distribueres Siden \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), ved at tilføje \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) giver et perfekt kvadratisk trinomium.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Tilføj 3 til begge sider af ligningen for at løse for \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Det perfekte kvadratiske trinomium udtrykkes som et kuberet binomium.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Tag kvadratroden af ​​hver side af ligningen
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Løs for \(x\).

Løsningerne af \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) er:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Fremgangsmåden anvendt i ovenstående ligning vil blive brugt til at finde det, der kaldes den generelle formel for kvadratiske løsninger.

Generel formel for andengradsligningen.

Generel formel for andengradsligninger

I dette afsnit vil vi finde ud af, hvordan man på en generel måde løser en andengradsligning

Lad os med \(a \ne 0\) betragte ligningen \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Da \(a \ne 0\) er det nok at løse:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Indledende situation
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Tilføj \( – \frac{c}{a}\) til hver side af ligningen.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Siden \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), ved at tilføje \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) giver et perfekt kvadratisk trinomium.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Den venstre side af ligningen er et perfekt kvadratisk trinomium.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Det perfekte kvadratiske trinomium udtrykkes som et kvadratisk binomium. Den algebraiske brøk er færdig.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Tag kvadratroden af ​​hver side af ligningen.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Radikale egenskaber gælder.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Absolut værdi egenskaber gælder.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Til hver side af ligningen tilføjes \( – \frac{b}{{2a}}\) for at løse for \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Den algebraiske brøk er færdig.

Udtrykket \({b^2} – 4{a^2}c\) kaldes diskriminanten af ​​andengradsligningen \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Når diskriminanten i ovenstående ligning er negativ, er løsningerne komplekse tal, og der er ingen reelle løsninger. Komplekse løsninger vil ikke blive dækket i denne note.

Givet andengradsligningen \(a{x^2} + bx + c = 0\), hvis \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Så er løsningerne af denne ligning:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Udtrykket:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Det kaldes den generelle formel for andengradsligningen.

Praktisk eksempel 8: løs ligningen \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(til\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminerende	rigtige løsninger
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Løsningerne af ligningen er:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktisk eksempel 9: Løs ligningen \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(til\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminerende	rigtige løsninger
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\venstre( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\venstre( {17} \right)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Løsningerne af ligningen er:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktisk eksempel 10: Løs ligningen \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(til\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminerende	rigtige løsninger
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Har ikke

Diverse ligninger

Der er ikke-kvadratiske ligninger, der kan konverteres til en andengradsligning.Vi vil se to tilfælde.

Praktisk eksempel 11: Find de reelle løsninger af ligningen \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Foretager ændringen af ​​variabel \(y = \sqrt x \), forbliver den foregående ligning som:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Derfor \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Da \(\sqrt x \) kun angiver positive værdier, vil vi kun overveje:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Svar:

Den eneste rigtige løsning er:
\(x = \frac{1}{9}\)

Bearbejdet eksempel 12: Løs ligningen \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Foretag ændring af variabel:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Vi får ligningen:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

De mulige værdier af \(y\) er:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Af ovenstående vil vi kun overveje den positive løsning.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Løsningerne er \(x = 9.\)