Definition af aritmetisk progression

En talfølge \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​kaldes en aritmetisk progression, hvis forskellen mellem to på hinanden følgende tal er lig med det samme tal \(d\), det er ja:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Tallet \(d\) kaldes forskellen i den aritmetiske progression.

Elementet \({a_1}\) kaldes det første element i den aritmetiske rækkefølge.

Elementerne i den aritmetiske progression kan udtrykkes i form af det første element og dets forskel, det vil sige:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

De er de første fire elementer i den aritmetiske progression; Generelt er \(k – \)th element udtrykt som følger:

\({a_k} = {a_1} + \venstre( {k – 1} \right) d\)

Fra ovenstående udtryk får vi:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \venstre( {k – l} \right) d\)

Ovenstående udtryk svarer til:

\({a_k} = {a_l} + \venstre( {k – l} \right) d\)

Eksempler anvendt til aritmetisk progression

1. Find forskellen på den aritmetiske progression: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​og find elementerne \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Løsning

Da \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) kan vi konkludere, at forskellen er:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. I en aritmetisk progression har vi: \({a_{17}} = 20\;\)og \({a_{29}} = – 130\), bestem forskellen på den aritmetiske progression og skriv de første 5 elementer.

Løsning

Iført

\({a_k} – {a_l} = \venstre( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \venstre( {12} \højre) d\)

\( – 150 = \venstre( {12} \højre) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

For at finde de første 5 elementer; vi beregner \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \venstre( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

De første 5 elementer er:

\(220.220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Polygonale tal og summen af ​​de første \(n\) elementer i en aritmetisk progression

trekantede tal

Trekanttallene \({T_n}\;\) dannes ud fra den aritmetiske progression: \(1,2,3,4 \ldots \); på følgende måde.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kvadrattal

Kvadrattallene \({C_n}\;\) dannes ud fra den aritmetiske progression: \(1,3,5,7 \ldots \); som følger

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

femkantede tal

Kvadrattallene \({P_n}\;\) dannes ud fra den aritmetiske progression: \(1,3,5,7 \ldots \); som følger

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Dernæst vil vi vise formlen for at finde summen af ​​de første \(n\) elementer i en aritmetisk progression.

Givet den aritmetiske progression, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). For at beregne summen \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) kan du bruge formlen:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

hvilket svarer til

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Ved at anvende den foregående formel opnås formlerne til at beregne de trekantede, kvadratiske og femkantede tal; som er vist i følgende tabel.

polygonalt tal	\({a_1}\)	\(d\)	Formel
Trekantet \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\venstre( {n + 1} \right)}}{2}\)
Kvadrat \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Femkantet \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\venstre( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Eksempel på polygonale tal

3. Ud fra eksempel 2 beregn \({S_{33}}\).

Løsning

I dette tilfælde \({a_1} = 200\) og \(d = – \frac{{25}}{2}\)

ansøger

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\venstre( {400 + 16\venstre( { – 25} \right)} \right) = 17\venstre( 0 \right) = 0\)

aritmetiske midler

Givet to tal \(a\;\) og \(b,\) kaldes tallene \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) \(k\) aritmetiske tal \(a\;\) og \(b\); hvis sekvensen \(a,{a_2},{a_3}, \ldots,{a_{k + 1}},b\) er en aritmetisk progression.

For at kende værdierne af \(k\) aritmetiske middel af tallene \(a\;\) og \(b\), er det nok at kende forskellen på den aritmetiske progression, for dette skal følgende være taget i betragtning:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Ud fra ovenstående fastslår vi forholdet:

\(b = a + \venstre( {k + 2 – 1} \højre) d\)

Løser vi for \(d\), får vi:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

eksempler

4. Find 7 aritmetiske middelværdier mellem tallene -5 og 25.

Løsning

Ved ansøgning

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

med \(b = 25,\;a = – 5\) og \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

De 7 aritmetiske middelværdier er:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. En person gav 2.000 dollars som udbetaling for at købe et køleskab og betalte resten med sit kreditkort i 18 måneder uden renter. Han skal betale 550 dollars om måneden for at afvikle gælden, som han erhvervede for at betale for sit køleskab.

til. Hvad koster køleskabet?

b. Hvis du har betalt resten over 12 måneder uden renter, hvor meget ville den månedlige ydelse så være?

Løsning

til. I dette tilfælde:

\({a_{19}} = 2000 + 18\venstre( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Mellem tallene 2000 og 11900 skal vi finde 11 aritmetiske middelværdier, for hvilke:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Givet sekvensen \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) find følgende 3 elementer og det generelle udtryk for elementet \(n\).

Løsning

Den pågældende sekvens er ikke en aritmetisk progression, da \(22 – 7 \ne 45 – 22\), men vi kan danne en sekvens med forskellene mellem to på hinanden følgende elementer og den følgende tabel viser resultater:

Elementer i sekvensen \({b_n}\)	Sekvens \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Den tredje kolonne i ovenstående tabel fortæller os, at sekvensen \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); er en aritmetisk rækkefølge, hvis forskel er \(d = 8\).

Dernæst vil vi skrive elementerne i sekvensen \({b_n}\) i form af sekvensen \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Generelt har du:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Ved ansøgning

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Med \({c_1} = 7\) og \(d = 8,\) får vi:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\venstre( {7 + 4\venstre( {n – 1} \højre)} \højre)\)

\({b_n} = n\venstre( {4n + 3} \right)\)

Ved at anvende den foregående formel: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)