Eksempel på fuld plads

Matematisk analyse er den gren af ​​matematiske videnskaber, der beskæftiger sig med studiet af fuld plads, som er en type metrisk rum.

Et metrisk rum består af par af punkter og en funktion af afstanden mellem dem; i disse rum er det muligt at definere en Cauchy-sekvens, der dannes af stadig mindre afstande mellem disse to punkter. Når det i det metriske rum ikke længere er muligt at finde en mindre afstand i sekvensen, har vi en fuld plads. Lukkede numeriske sæt, det vil sige dem, hvor der er en grænse, er komplette mellemrum.

Eksempel på fuld plads:

Sættet med naturlige tal, inklusive 0, er et komplet mellemrum, da dette sæt er lukket ved slutningen af ​​0. Repræsentationen af ​​dette nummersæt er N= [0, 1, 2,... n}.

Lad os tage to punkter mellem to elementer i dette sæt, for eksempel 4 og 8, repræsenteret på følgende måde p = (4, 8), afstandsfunktionen mellem to punkter er lig med 4, Cauchy-sekvensen er givet af sekvensen {4, 3, 2, 1, 0}, der konvergerer på 0.

Et andet eksempel er det sæt positive reelle tal dannet med {0}, som er repræsenteret som

OG⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, da der gives to punkter i dette rum, vil Cauchy-sekvensen konvergere, når afstanden er 0

Sættet med rationelle tal er ikke et komplet mellemrum, da afstanden 0 (tallet 0 som et tal ikke gør det findes i dette sæt), hvilket gør Cauchy-sekvensen ikke konvergent på noget tidspunkt i dette sæt.

Ethvert lukket interval af de naturlige tal er et komplet rum.