Definition der nichteuklidischen Geometrie

Grundsätzlich sind nichteuklidische Geometrien solche, die aus der Befragung des sog Euklids 5. Postulat, daher ist eine allgemeine Charakterisierung des Werks von Euklid unerlässlich, der ein griechischer Mathematiker und Geometer war, dessen Werk paradigmatisch für die Geometrie, gilt als einer ihrer Gründer. Es ist mit Sicherheit bekannt Sicherheit die um das Jahr 300 v. Chr. in der Stadt Alexandria, einem kulturellen Brennpunkt der Antike, lebten. C.

Seine Arbeit Elemente es beginnt mit einer Reihe von „Prinzipien“, die aus einer Liste von 23 Definitionen bestehen; gefolgt von 5 Postulaten, die sich auf beziehen

Zahlen spezifisch geometrisch; und 5 allgemeine Axiome, die anderen mathematischen Disziplinen gemeinsam sind. Als nächstes, nach den Prinzipien, führt Euklid die "Sätze" von zwei Arten ein: Probleme, auf die verwiesen wird Gebäude Figuren mit Lineal und Zirkel; und Theoreme, die sich auf die Demonstration der Eigenschaften beziehen, die einige geometrische Figuren.

Euklids fünftes Postulat

Er behauptet, dass "Wenn eine Gerade, die auf zwei andere Geraden fällt, die Innenwinkel derselben Seite kleiner macht als zwei Geraden, Wenn die beiden Linien dann unendlich verlängert werden, treffen sie sich auf der Seite, auf der die Winkel kleiner als zwei sind gerade”. Wenn die Winkel richtig wären, dann wären solche Linien nach Definition Nr. 23 parallel ("Parallele Linien sind Linien, die, wenn sie in der gleichen Ebene liegen und unendlich verlängert werden, sich in keiner Richtung treffen.”).

Dieses Postulat, komplexer als die vorherigen, war an sich nicht unzweifelhaft: Es war nicht offensichtlich, dass es sich verlängerte Linien auf unbestimmte Zeit, sie würden sich auf der Seite schneiden, wo die Winkel weniger als zwei rechte Winkel wären, da es nicht möglich wäre, dies zu beweisen Gebäude. Dann wurde die Möglichkeit offen gelassen, dass sich die Linien auf unbestimmte Zeit näherten, ohne sich jemals zu schneiden.

Versuche, das fünfte Postulat zu beweisen

Aus diesem Grund gab es von der Antike bis Mitte des 19. Jahrhunderts eine Reihe von gescheiterten Versuchen, das fünfte Postulat zu beweisen: Ein Beweis gelang immer; aber Einführung eines anderen zusätzlichen Postulats (logisch äquivalent zum fünften), das sich von denen von Euklid unterscheidet. Das fünfte Postulat konnte also nicht bewiesen werden, sondern wurde durch ein äquivalentes ersetzt.

Ein Beispiel dafür ist das Postulat von John Playfair (s. XVIII): „Ein einzelner Punkt parallel zu dieser Linie geht durch einen Punkt außerhalb einer Linie, die in derselben Ebene liegt." (bekannt als "paralleles Postulat”). Nichteuklidische Geometrien entstehen gerade aus den gescheiterten Versuchen, das fünfte Postulat des euklidischen Systems zu beweisen.

Der Absurditätstest von Saccheri

1733 versuchte der italienische Mathematiker Girolamo Saccheri, die Absurdität von Euklids fünftem Postulat zu beweisen. Dazu baute er ein Viereck (bekannt als „Saccheris Viereck“, in dem ein Winkelpaar rechte Winkel sind) und stellte fest, dass das fünfte Postulat äquivalent zu der Aussage ist, dass die charakteristische Winkel (diejenigen, die dem Paar rechter Winkel gegenüberliegen) dieses Vierecks sind ebenfalls rechte Winkel. dann sind es drei Hypothese möglich, sich gegenseitig ausschließend: dass die beiden charakteristischen Winkel recht, spitz oder stumpf sind. Um das fünfte Postulat durch das Absurde zu beweisen, war es notwendig zu beweisen (ohne auf das fünfte zurückzugreifen postuliert), dass die Hypothesen von stumpfem und spitzem Winkel Widerspruch implizierten und daher waren falsch.

Saccheri gelang es zu beweisen, dass die Hypothese des stumpfen Winkels widersprüchlich ist, aber im Fall des spitzen Winkels gelang ihm dies nicht. Im Gegenteil, er leitete eine Reihe von Theoremen ab, die mit der euklidischen Geometrie vereinbar und mit ihr unvereinbar sind. Schließlich kam er zu dem Schluss, dass die Hypothese angesichts der Seltsamkeit dieser Theoreme falsch sein muss. Folglich glaubte er, das fünfte Postulat als absurd erwiesen zu haben; Was er jedoch tat, war versehentlich einen wichtigen Satz von Theoremen der nichteuklidischen Geometrie zu beweisen.

Die „gleichzeitige“ Entdeckung nicht-euklidischer Geometrien

Carl F. Gauß war im neunzehnten Jahrhundert der erste, der vermutete, dass das fünfte Postulat nicht von den anderen vier bewiesen werden konnte (das heißt, dass es so war unabhängig) und die Möglichkeit einer nicht-euklidischen Geometrie zu konzipieren, die auf den vier euklidischen Postulaten und auf der Negation der fünfte. Er hat seine Entdeckung nie veröffentlicht: Dies gilt als ein Fall von gleichzeitige Entdeckung, weil er drei unabhängige Referenten hatte (Gauss selbst, János Bolyai und Nikolai Lobachevsky).

Die Verneinung zu fünfte Gesetz von Euklidisch impliziert zwei Möglichkeiten (wobei die äquivalente Formulierung von Playfair übernommen wird): durch einen Punkt außerhalb einer geraden Linie, entweder keine parallelen Durchgänge oder mehr als ein paralleler Durchgang. Unter den nichteuklidischen Geometrien finden wir beispielsweise die Geometrie „imaginär“ von Lobatschewski, später bekannt als „hyperbolisch"- entsprechend, "Wenn ein äußerer Punkt zu einer Linie gegeben ist, verlaufen unendliche sich schneidende Linien, unendliche sich nicht schneidende Linien und nur zwei parallele Linien durch diesen Punkt.“, im Gegensatz zur einzigartigen euklidischen Parallele; oder Bernhard Riemanns elliptische Geometrie, die besagt, dass "Durch einen Punkt außerhalb einer Linie verläuft keine Parallele zu dieser Linie.”.

Anwendungen und Auswirkungen der Entdeckung

Derzeit ist bekannt, dass beide Geometrien im lokalen Raum ungefähre Ergebnisse liefern. Die Unterschiede treten auf, wenn der physische Raum unter Berücksichtigung großer Entfernungen durch die eine oder andere Geometrie beschrieben wird. Obwohl wir weiterhin die euklidische Geometrie verwenden, da sie unseren Raum auf lokaler Ebene am einfachsten beschreibt, die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien war insofern entscheidend, als sie eine radikale Transformation des Wahrheitsverständnisses bedeutete wissenschaftlich.

Bis dahin wurde angenommen, dass die euklidische Geometrie den Raum wirklich beschreibt. Beim Beweis der Möglichkeit, es durch eine andere Geometrie mit anderen Postulaten zu beschreiben, war es notwendig, die Kriterien zu überdenken, nach denen es möglich war, die eine oder andere Erklärung anzunehmen, wie "wahr”.

Literaturverzeichnis

Martinez Lorca, A. (1980) „Die Ethik des Sokrates und ihr Einfluss auf die Gedanke Occidental“, in Revista Baética: Estudios de Arte, Erdkunde und Geschichte, 3, 317-334. Universität Málaga.

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