Was sind die Maxwell-Gleichungen und wie werden sie definiert?

Engel Zamora Ramírez | Juli. 2022
Abschluss in Physik

Vor diesen Gleichungen wurde gesagt, dass die elektrischen und magnetischen Kräfte „Kräfte in der Ferne“ seien, es war kein physikalisches Mittel bekannt, durch das diese Art von Wechselwirkung auftreten würde. Nach vielen Jahren der Forschung auf Elektrizität Y Magnetismus, vermutete Michael Faraday, dass es im Raum zwischen den Ladungen und den elektrischen Strömen etwas Physisches geben musste, das es ihnen ermöglichen würde, miteinander zu interagieren und all das zu manifestieren bekannten elektrischen und magnetischen Phänomenen bezeichnete er diese zunächst als „Kraftlinien“, was zu der Vorstellung von der Existenz eines elektromagnetischen Feldes führte.

Aufbauend auf Faradays Idee entwickelt James Clerk Maxwell eine Feldtheorie, die durch vier partielle Differentialgleichungen repräsentiert wird. Maxwell bezeichnete dies als "elektromagnetische Theorie" und war der erste, der diese Art mathematischer Sprache in eine physikalische Theorie einbezog. Die Maxwell-Gleichungen in ihrer Differentialform für Vakuum (dh in Abwesenheit von dielektrischen und / oder polarisierbaren Materialien) lauten wie folgt:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwellsche Gleichungen für das Vakuum in seiner Differentialform

Dabei ist \(\vec{E}~\) das elektrische Feld, \(\vec{B}~\) das magnetische Feld, \(\rho ~\) die Dichte von elektrische Ladung, \(\vec{J}~~\) ist ein Vektor, der a zugeordnet ist elektrischer Strom, \({{\epsilon }_{0}}~\) ist die elektrische Permittivität eines Vakuums und \({{\mu }_{0}}~~\) ist die magnetische Permeabilität eines Vakuums. Jede dieser Gleichungen entspricht a Gesetz des Elektromagnetismus und hat eine Bedeutung. Ich werde jeden von ihnen im Folgenden kurz erläutern.

Gaußsches Gesetz

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gaußsches Gesetz für das elektrische Feld

Diese erste Gleichung sagt uns, dass die elektrischen Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind, dieses elektrische Feld „divergiert“ direkt von den Ladungen. Darüber hinaus wird die Richtung des elektrischen Felds durch das Vorzeichen der elektrischen Ladung bestimmt, die es erzeugt, und wie nahe die Feldlinien beieinander liegen, zeigt die Größe des Felds selbst an. Das Bild unten fasst etwas zusammen, was gerade erwähnt wurde.

Abbildung 1. Aus Studiowork.- Diagramm der elektrischen Felder, die von zwei Punktladungen, einer positiven und einer negativen, erzeugt werden.

Dieses Gesetz verdankt seinen Namen dem Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß, der es auf der Grundlage seines Divergenzsatzes formulierte.

Gaußsches Gesetz für das Magnetfeld

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gaußsches Gesetz für das Magnetfeld

Dieses Gesetz hat keinen bestimmten Namen, aber es wird wegen seiner Ähnlichkeit mit der vorherigen Gleichung so genannt. Die Bedeutung dieses Ausdrucks ist, dass es keine "magnetische Ladung" analog zu "elektrischer Ladung" gibt, dh es gibt keine magnetischen Monopole, die die Quelle des Magnetfelds sind. Das ist der Grund, warum wir, wenn wir einen Magneten in zwei Hälften brechen, immer noch zwei ähnliche Magnete haben, beide mit einem Nordpol und einem Südpol.

Faradaysches Gesetz

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradaysches Induktionsgesetz

Dies ist das berühmte Induktionsgesetz, das von Faraday formuliert wurde, als er 1831 entdeckte, dass sich ändernde Magnetfelder elektrische Ströme induzieren können. Diese Gleichung bedeutet, dass ein Magnetfeld, das sich mit der Zeit ändert, in der Lage ist, zu induzieren um ihn herum ein elektrisches Feld, das wiederum dazu führen kann, dass sich elektrische Ladungen bewegen und a erzeugen Strom. Obwohl dies zunächst sehr abstrakt klingen mag, steckt das Faradaysche Gesetz hinter der Funktionsweise von Motoren, E-Gitarren und Induktionskochfeldern.

Ampère-Maxwell-Gesetz

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Das erste, was uns diese Gleichung sagt, ist, dass elektrische Ströme Magnetfelder um die Richtung des Stroms erzeugen und so weiter Die Größe des erzeugten Magnetfelds hängt von der Größe dieses Felds ab, was Oersted beobachtete und das später Ampère konnte formulieren. Hinter dieser Gleichung verbirgt sich jedoch etwas Merkwürdiges, und zwar der zweite Term auf der Seite Gesetz der Gleichung wurde von Maxwell eingeführt, weil dieser Ausdruck ursprünglich inkonsistent war insbesondere bei den anderen führte sie zu einer Verletzung des Ladungserhaltungssatzes. Um dies zu vermeiden, führte Maxwell einfach diesen zweiten Term ein, damit seine ganze Theorie konsistent wäre, diesen Term erhielt den Namen "Verdrängungsstrom", und es gab damals keine experimentellen Beweise dafür. wird sichern

Abbildung 2. De Rumruay.- Ein elektrischer Strom, der durch ein Kabel fließt, erzeugt gemäß dem Ampère-Gesetz ein Magnetfeld um es herum.

Der Verschiebungsstrom hat die gleiche Bedeutung wie ein Magnetfeld Variable induziert ein elektrisches Feld, ein elektrisches Feld, das sich mit der Zeit ändert, kann ein Feld erzeugen magnetisch. Die erste experimentelle Bestätigung des Verschiebungsstroms war der Nachweis der Existenz von elektromagnetische Wellen von Heinrich Hertz im Jahr 1887, mehr als 20 Jahre nach der Veröffentlichung der Theorie der Maxwell. Die erste direkte Messung des Verschiebungsstroms wurde jedoch von M. R. Van Cauwenberghe im Jahr 1929.

Licht ist eine elektromagnetische Welle

Eine der ersten verblüffenden Vorhersagen von Maxwells Gleichungen ist die Existenz von elektromagnetische Wellen, aber nicht nur das, sie offenbarten auch, dass Licht eine Welle davon sein musste Typ. Um dies etwas zu sehen, werden wir mit den Maxwell-Gleichungen herumspielen, aber vorher ist hier die Form einer beliebigen Wellengleichung:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Allgemeine Form einer Wellengleichung in drei Dimensionen.

Dabei ist \({{\nabla }^{2}}\) der Laplace-Operator, \(u\) eine Wellenfunktion und \(v\) die Geschwindigkeit der Welle. Wir werden auch mit den Maxwellschen Gleichungen im leeren Raum arbeiten, also ohne elektrische Ladungen und elektrische Ströme nur elektrische und magnetische Felder:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Und wir werden auch das Folgende verwenden Identität Vektorrechnung:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Wenn wir diese Identität auf elektrische und magnetische Felder anwenden, indem wir die obigen Maxwell-Gleichungen für den leeren Raum verwenden, erhalten wir die folgenden Ergebnisse:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Beachten Sie die Ähnlichkeit dieser Gleichungen mit der obigen Wellengleichung in Fazit, können sich elektrische und magnetische Felder wie Wellen verhalten (elektromagnetische Wellen). Wenn wir die Geschwindigkeit dieser Wellen als \(c\) definieren und diese Gleichungen mit der obigen Wellengleichung vergleichen, können wir sagen, dass die Geschwindigkeit ist:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) und \({{\epsilon }_{0}}\) sind die magnetische Permeabilität bzw. elektrische Dielektrizitätskonstante des Vakuums, und beide sind Konstanten Universalien, deren Werte \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) und \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), Wenn wir diese Werte ersetzen, haben wir, dass der Wert von \(c\) \(c=299.792.458\frac{m}{s}\approx 300.000~km/s\) ist, was genau der Geschwindigkeit von entspricht hell.

Mit dieser kleinen Analyse können wir drei sehr wichtige Schlussfolgerungen ziehen:

1) Elektrische und magnetische Felder können sich wie Wellen verhalten, das heißt, es gibt elektromagnetische Wellen, die sich auch im Vakuum ausbreiten können.

2) Licht ist eine elektromagnetische Welle, deren Geschwindigkeit von der magnetischen Permeabilität und Permittivität abhängt des Mediums, durch das es sich ausbreitet, hat Licht im leeren Raum eine Geschwindigkeit von ca 300.000 km/s.

3) Da die magnetische Permeabilität und die elektrische Permittivität universelle Konstanten sind, dann ist die Lichtgeschwindigkeit ist auch eine universelle Konstante, aber das impliziert auch, dass ihr Wert nicht davon abhängt von Rahmen an dem gemessen wird.

Diese letzte Aussage war damals höchst umstritten: Wie ist es möglich, dass die Geschwindigkeit von Licht ist das gleiche, unabhängig von der Bewegung der Person, die es misst, und der Bewegung der Lichtquelle. hell? Die Geschwindigkeit von etwas muss relativ sein, richtig? Nun, dies war ein Wendepunkt für die damalige Physik, und diese einfache, aber tiefgreifende Tatsache führte 1905 zur Entwicklung der Speziellen Relativitätstheorie durch Albert Einstein.