Was ist die Dirac-Gleichung und wie ist sie definiert?

Diese Gleichung kann auf verschiedene Weise ausgedrückt werden, wobei die kompakteste und vereinfachteste die ist, die als eine der ästhetischsten Gleichungen in der Wissenschaft gilt:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Wo:
i: imaginäre Einheit
m: Ruhemasse des Elektrons
ħ: Plancksche reduzierte Konstante
c: Geschwindigkeit des Lichts
: Summationsoperator partieller Ableitungen
: Mathematische Wellenfunktion des Elektrons

Der Absolutwert des Quadrats der Wellenfunktion repräsentiert die Wahrscheinlichkeit um das Teilchen in einer bestimmten Position zu finden, unter Berücksichtigung seiner Energie, Geschwindigkeit, neben anderen Parametern, sowie seine

Evolution in der Zeit. Mit anderen Worten, die Paul-Dirac-Gleichung verwendet Matrizen, die auf Vektoren wirken, und stellt eine Weiterentwicklung der Schrödinger-Gleichung in der relativistischen Quantenphysik dar.

Die Dirac-Gleichung wurde ursprünglich verwendet, um das Verhalten eines Elektrons ohne Wechselwirkung zu beschreiben, obwohl sich ihre Anwendbarkeit auf erstreckt Bezeichnung von subatomaren Teilchen, wenn sie sich mit Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit fortbewegen. Dirac gelang es, das damals bereits bekannte duale Verhalten von Welle und Teilchen auf subatomarer Ebene zu erklären, da er die Eigenschaften von Teilchen wie den Drehimpuls berücksichtigte intrinsisch oder drehen.

Ein weiterer bedeutender Beitrag der Dirac-Gleichung ist die Vorhersage von Antimaterie, deren Existenz später (1932) von Carl D. Anderson mit einer Nebelkammer, mit der er das Positron identifizierte. Es erklärt auch weitgehend die in atomaren Spektrallinien identifizierte Feinstruktur.

Das Bild zeigt das berühmte Foto, das während der „Photons and Electrons“-Konferenz im Jahr 1927 aufgenommen wurde, wo einige der herausragendsten Wissenschaftler der Geschichte porträtiert sind. Am Himmelskreis befindet sich Paul Dirac.

Hintergrund der Dirac-Gleichung

Um die Überlegungen zu verstehen, die Dirac bei der Entwicklung seiner Gleichung angestellt hat, sowie die Grundlagen, auf denen sein Ansatz basierte, ist es wichtig, die Theorien vor seinem zu kennen Modell.

Da ist zunächst die berühmte, 1925 veröffentlichte Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik, die Größen in Quantenoperatoren umwandelt. Diese Gleichung verwendet die Wellenfunktion () und nimmt als Ausgangspunkt die klassische Gleichung von Energie E = p2/2m und enthält die Quantisierungsregeln für Impuls (p) und Energie (UND):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Die partielle Ableitung /t drückt die zeitliche Entwicklung des Systems aus. Der erste Begriff in der eckigen Klammer bezieht sich auf die Kinetische Energie (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), während sich der zweite Term auf die bezieht potenzielle Energie.

Hinweis: In Einsteins Relativitätstheorie müssen die Variablen Raum und Zeit gleichermaßen in die einfließen -Gleichungen, was in der Schrödinger-Gleichung nicht der Fall ist, in der die Zeit als Ableitung und der Ort als a erscheint zweite Ableitung.

Nun, seit Jahrhunderten versuchen Wissenschaftler, ein Modell der Physik zu finden, das die verschiedenen Theorien vereint, und im Fall von Die Schrödinger-Gleichung berücksichtigt die Masse (m) und die Ladung des Elektrons, berücksichtigt jedoch nicht die relativistischen Effekte, die sich in der Höhe manifestieren Geschwindigkeiten. Aus diesem Grund schlugen die Wissenschaftler Oskar Klein und Walter Gordon 1926 eine Gleichung vor, die die Prinzipien der Relativität berücksichtigt:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Das Problem mit der Klein-Gordon-Gleichung ist, dass sie auf Einsteins basiert, in der Energie quadriert wird, also diese (Klein-Gordon)-Gleichung enthält eine quadrierte Ableitung in Bezug auf die Zeit, und dies impliziert, dass es zwei Lösungen hat, die negative Zeitwerte zulassen, und dies macht keinen Sinn körperlich. Ebenso hat es den Nachteil, Wahrscheinlichkeitswerte kleiner Null als Lösungen zu generieren.

Um die Widersprüchlichkeiten aufzulösen, die durch negative Lösungen bestimmter Größenordnungen impliziert werden, die diese Ergebnisse nicht stützen, ging Paul Dirac von der Klein-Gordon-Gleichung aus linearisieren, und in dieses Verfahren führte er zwei Parameter in Form von Matrizen der Dimension 4 ein, bekannt als Dirac- oder auch Pauli-Matrizen, und die eine Darstellung der Algebra der sind drehen. Diese Parameter werden als  und ` bezeichnet (in der Energiegleichung werden sie als E = pc + mc2 dargestellt):

Durch was ist Gleichberechtigung erfüllt ist, ist die Bedingung, dass ´2 = m2c4

Im Allgemeinen führen die Quantisierungsregeln zu Operationen mit Ableitungen, die jedoch für Skalarwellenfunktionen gelten, wie z Die Parameter α und β sind 4x4-Matrizen, die Differentialoperatoren greifen in einen vierdimensionalen Vektor (), bekannt als Spinor, ein.

Die Dirac-Gleichung löst das Problem der negativen Energie, das durch die Klein-Gordon-Gleichung dargestellt wird, aber es erscheint immer noch eine Lösung für negative Energie; Das heißt, Teilchen mit ähnlichen Eigenschaften wie die andere Lösung, aber mit entgegengesetzter Ladung, Dirac nannte diese Antiteilchen. Darüber hinaus wird mit der Dirac-Gleichung gezeigt, dass der Spin das Ergebnis der Anwendung relativistischer Eigenschaften auf die Quantenwelt ist.