Was ist die Operationshierarchie?

Die Hierarchie der Operationen ist eine mathematische Konvention, die die Reihenfolge festlegt, in der kombinierte Berechnungsaktionen ausgeführt werden sollten dieselbe mathematische Aussage, das heißt, wenn es eine mathematische Aussage gibt, wo es mathematische Operationen gibt (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln) kombiniert, müssen diese in einer bestimmten Reihenfolge ausgeführt werden, um zu einem Ergebnis zu gelangen gemeinsam.

Aber warum braucht es eine Hierarchie? Um sie zu beantworten, müssen wir zunächst die Natur mathematischer Operationen gut verstehen, die aus einer Transformation besteht, die auf die Elemente einer Menge angewendet wird. Denken wir zum Beispiel an die Menge der reellen Zahlen, also der Zahlen, die wir alle kennen. Wenn wir eine Zahl a nehmen und sie mit einer anderen Zahl b addieren, erhalten wir eine andere Zahl c, die zu derselben Menge reeller Zahlen gehört, das heißt:

a+b = c

Außerdem hat die Reihenfolge, in der die Summanden dargestellt werden, keinen Einfluss auf das Endergebnis, d. h

a+b = b+a, diese Eigenschaft heißt Kommutativität. Es ist wichtig, über die Addition zu sprechen, da sie die Grundoperation ist, von der alle anderen abgeleitet werden. Eine Multiplikation ist nichts anderes als eine Reihe wiederholter Additionen. Wenn wir wieder eine Zahl a haben und sie mit einer Zahl b multiplizieren, addieren wir manchmal die Zahl b mit sich selbst oder alternativ b mal die Zahl a mit sich selbst. Letzteres ist so, da die Multiplikation wie die Addition kommutativ ist, dies impliziert Folgendes: a⋅b = b⋅a. Das Vorgenannte kann ausgedrückt werden als:

Wir können uns das leicht an einem Beispiel veranschaulichen. Machen wir die 5×2-Multiplikation:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Was ist nun, wenn wir eine Operation ausführen müssen, bei der wir Addition mit Multiplikation kombiniert haben? Zum Beispiel: a⋅b+c. In welcher Reihenfolge müssen Addition und Multiplikation ausgeführt werden? Welcher Operation müssen wir den Vorzug geben? Wenn wir zuerst die Multiplikation durchführen und als Summe entwickeln, hätten wir:

Wenn wir nun zuerst addieren und dann multiplizieren, erhalten wir:

Da die Addition kommutativ ist, können wir die rechte Seite der Gleichung umgruppieren, um zu erhalten:

Wenn man die in beiden Situationen erzielten Ergebnisse vergleicht, ist es leicht zu erkennen, dass:

Wir schließen daraus, dass die Reihenfolge, in der entschieden wird, die Operationen auszuführen, das erzielte Ergebnis beeinflusst. Dasselbe passiert, wenn wir Kräfte einbeziehen. Wenn wir eine Zahl b mit c potenzieren, multiplizieren wir c mal die Zahl b mit sich selbst, das heißt:

Wir fahren nun fort, die folgende kombinierte Operation durchzuführen, die Multiplikation und Potenz a⋅b beinhaltet^C in einer anderen Reihenfolge als im vorherigen Fall. Wenn wir der Macht zuerst Priorität einräumen, haben wir:

Wenn wir nun zuerst die Multiplikation und dann die Potenz durchführen, hätten wir:

Unter Ausnutzung der Kommutativität der Multiplikation können wir die rechte Seite der Gleichung wie folgt umgruppieren:

Auch hier können wir die Ergebnisse vergleichen, die durch Ausführen der Operationen in einer anderen Reihenfolge erzielt werden, um Folgendes zu erkennen:

Auch in diesem Fall beeinflusst die Reihenfolge, in der die Operationen durchgeführt werden, das erhaltene Ergebnis. Also, in welcher Reihenfolge müssen die Operationen durchgeführt werden? Die Hierarchie der Operationen legt fest, dass sich Potenzen auf einer höheren Hierarchieebene befinden als Multiplikationen, sodass Potenzen in einer mathematischen Aussage Vorrang haben. Multiplikationen haben wiederum eine höhere Hierarchiestufe als Additionen.

Aber was ist mit Subtraktion, Division und Wurzeln? Die Subtraktion ist die entgegengesetzte Operation der Addition, wenn wir eine Zahl b von einer Zahl a subtrahieren, erhalten wir eine andere Zahl c, so dass c+b=a. Etwas Ähnliches passiert bei Division und Subtraktion. Wenn wir eine Zahl a durch eine Zahl b dividieren und als Ergebnis eine Zahl c erhalten, haben wir eine Zahl gefunden, so dass b⋅c=a. Und schließlich, indem wir die Wurzel b einer Zahl a berechnen, finden wir eine Zahl c, so dass c^B= ein. Diese Äquivalenzen stellen Subtraktion, Division und Wurzel auf die gleiche Hierarchieebene wie Addition, Multiplikation bzw. Potenz.

Klammern und Klammerpraktiken

Was passiert nun, wenn wir einigen Operationen in einer mathematischen Aussage unabhängig von ihrer Hierarchiestufe Priorität einräumen wollen? Dazu werden runde und eckige Klammern verwendet. Angenommen, wir haben die Aussage des Prinzips a⋅b+c. Mit dem zuvor Gesagten wissen wir bereits, dass wir zuerst die Multiplikation und dann die Addition durchführen müssen. Aber was wäre, wenn wir wollten, dass dies nicht der Fall ist? Dazu müssten wir die Addition durch runde oder eckige Klammern von der Multiplikation trennen und damit vorrangig zuerst die Addition berechnen, also: a⋅(b+c). Dadurch haben durch runde und eckige Klammern getrennte Anweisungen die höchste Priorität vor allen anderen Operationen.

Mit allem oben Gesagten ist die Hierarchie der Operationen oder die Reihenfolge, in der sie ausgeführt werden müssen, wie folgt:

1) Klammern und Klammern
2) Kräfte und Wurzeln
3) Multiplikationen und Divisionen
4) Addition und Subtraktion

Verweise

H. Behnke, F. Bachmann, K. Flatt, W. Süß, H. Gerik, F. Höhenberg, G. Pickert, H. Rau & S. H. Gould. (1983). Grundlagen der Mathematik: Band I. Cambridge, Massachusetts und London: The MIT Press.