Definition der quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion einer reellen Variablen, deren Form ausgedrückt wird.

\(f\links( x \rechts) = a{x^2} + bx + c\)

Wo die Variable \(x\) ist, sind \(a, b\) und c reelle Konstanten, genannt Koeffizienten der quadratischen Funktion mit \(a \ne 0.\)

Die Tabelle zeigt allgemeine Beispiele für quadratische Funktionen und die Situation, die sie modellieren können, um später ihre direkte Anwendung anhand realer Probleme zu veranschaulichen.

Quadratische Funktion	Situation, die Sie modellieren können
\(f\links( x \rechts) = {x^2}\)	Die Variable \(y\) ist die Fläche eines Quadrats, dessen Seite \(x\) misst.
\(f\links( x \rechts) = \pi {x^2}\)	Die Variable \(y\) ist die Fläche eines Kreises, dessen Radius \(x\) ist.
\(f\links( x \rechts) = 100 – 4,9{x^2}\)	Die Variable \(y\) ist die Höhe eines Objekts, das aus einer Höhe von 100 fallen gelassen wurde, und \(x\) ist die verstrichene Zeit.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Die Variable \(y\) ist die Höhe einer Kanonenkugel, die in einem Winkel von 45° mit einer Geschwindigkeit von 60 m/s geworfen wird, und \(x\) ist die verstrichene Zeit.

Die allgemeine Formel und die quadratische Funktion

Wenn für \(x = \alpha \) die quadratische Funktion Null ist, dann ist die Zahl \(\alpha \) die Wurzel der quadratischen Funktion, ja, \(\alpha \) ist die Lösung der quadratischen Gleichung

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Die allgemeine Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen haben wir, dass die Wurzeln einer quadratischen Funktion sind:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Aus dem Obigen ergibt sich die folgende Beziehung zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten der quadratischen Funktion:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Durch namhafte Produkte wird folgende Identität hergestellt:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Ähnlich wie in der allgemeinen Formel festgelegt, wird festgestellt, dass die quadratische Funktion in der Form ausgedrückt werden kann:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

Mit \(h = – \frac{b}{{2a}}\) und \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Durch Lösen der Gleichung:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Erhalten wird:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Aus dem Obigen kann geschlossen werden, dass \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), nur wenn die Konstanten \(k\) und \(a\) sind von entgegengesetzten Vorzeichen hat diese quadratische Funktion reelle Wurzeln, die sind: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Wenn die Konstanten \(k\) und \(a\) das gleiche Vorzeichen haben, dann hat die quadratische Funktion keine reellen Wurzeln.

Wenn \(k = 0,\;\;\) die quadratische Funktion nur eine Wurzel hat.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Anwendungsbeispiel 1: Wirtschaftswissenschaften

Eine Schule möchte ein Fußballturnier organisieren, bei dem jede Mannschaft nur einmal gegen jede andere Mannschaft spielt. Es gibt ein Budget von 15.600 USD für die Kosten des Schiedsverfahrens, wenn die Kosten des Schiedsverfahrens 200 USD pro Spiel betragen. Wie viele Mannschaften können sich für das Turnier anmelden?

Problemstellung: Wir müssen eine Funktion finden, die die Anzahl der Übereinstimmungen berechnet, wenn wir \(n\) Teams, um sie zu zählen, gehen wir davon aus, dass Team 1 zuerst mit allen anderen spielt, also \(n – 1\) Streichhölzer. Team 2 würde nun mit allen anderen spielen, also mit \(n – 2\), da sie bereits mit Team 1 gespielt haben. Team 3 hat bereits mit den Teams 1 und 2 gespielt, also müssten sie mit n-3 Teams spielen.

Mit obiger Begründung kommen wir zu:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Die Kostenfunktion lautet:

\(C\links( n \rechts) = 200f\links( n \rechts) = 100n\links( {n – 1} \rechts)\)

Bei einem Budget von 15.600 $ haben wir die Gleichung:

\(100n\links( {n – 1} \rechts) = 15600\)

Lösung der Gleichung

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Ausgangssituation
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Teilen Sie jede Seite der Gleichung durch 100
\({n^2} – n – 156 = \) Füge \( – 156\) zu jeder Seite der Gleichung hinzu
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Wir haben \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) und \( – 13 + 12 = – 1\)
Es wurde faktorisiert.
Lösungen der Gleichung \(n = – 12,\;13\)
Antwort: Das Budget reicht für die Anmeldung von 13 Teams.

Anwendungsbeispiel 2: Wirtschaftswissenschaften

Ein städtisches Busunternehmen hat beobachtet, dass jeder seiner Busse an einem Acht-Stunden-Tag durchschnittlich 1000 Fahrgäste befördert. Um in der Lage zu sein, Ihren Mitarbeitern eine Gehaltserhöhung zu gewähren, müssen Sie Ihren Fahrpreis erhöhen, der derzeit 5 $ beträgt; Ein Ökonom rechnet vor, dass für jeden Peso, den der Fahrpreis erhöht, jeder Lkw durchschnittlich 40 Passagiere pro Tag verliert. Das Unternehmen hat errechnet, dass es zur Deckung der Gehaltserhöhung jeden Tag 760 US-Dollar zusätzlich pro Lkw erhalten muss.Um wie viel muss der Fahrpreis steigen?

Formulierung des Problems: Sei \(x\) der Betrag in Pesos, um den das Ticket steigen wird, wobei \(5 + x\) die neuen Kosten des Tickets sind. Mit der gleichen Steigerung wird jeder Lkw im Durchschnitt \(1000 – 40x\) Passagiere pro Tag befördern.

Schließlich beträgt der Umsatz pro LKW:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right)\)

Um die Gehaltserhöhung zu decken, muss jeder Bus kassieren: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Endlich haben wir die Gleichung:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

Lösung der Gleichung
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Ausgangssituation
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Teile durch \( – 40\) auf jeder Seite der Gleichung
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Das bemerkenswerte Produkt wurde entwickelt
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 wurden jeweils hinzugefügt
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Wir haben \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ rechts) = 19\) und \( – 19 – 1 = – 20\)
faktorisiert
Lösungen der Gleichung \(n = 1,19\)
Antwort: Der Ticketpreis kann um $1 oder $19 Pesos steigen.

Anwendungsbeispiel 3: Wirtschaftswissenschaften

Ein Brotladen verkauft durchschnittlich 1.200 Brötchen pro Woche für 6 $ pro Stück. Eines Tages beschloss er, den Preis auf 9 Dollar pro Stück zu erhöhen; Jetzt sind ihre Verkäufe zurückgegangen: Sie verkauft nur noch 750 Rollen pro Woche. Welchen Preis sollte jedes Brötchen haben, damit der Umsatz der Verkaufsstelle möglichst hoch ist? Gehen Sie davon aus, dass zwischen Nachfrage und Preis ein linearer Zusammenhang besteht.

Problemstellung: Unter der Annahme, dass es einen linearen Zusammenhang zwischen Nachfrage D und Preis \(x,\) gibt, dann

\(D = mx + b\)

Wenn \(x = 6;D = 1200;\;\) was die Gleichung erzeugt:

\(1200 = 6m + b\)

Wenn \(x = 9;D = 750;\;\) lo und die Gleichung erhalten wird:

\(750 = 9m + b\)

Beim Lösen des Gleichungssystems lautet die Beziehung zwischen Nachfrage und Preis:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\left( {x – 14} \right)\)

Das Einkommen ist gleich

\(I\links( x \rechts) = Dx = – 150x\links( {x – 14} \rechts)\)

Lösung

Der Einkommensgraph ist eine Parabel, die sich nach unten öffnet und am Scheitelpunkt ihren Maximalwert erreicht was gefunden werden kann, indem man die Wurzeln der quadratischen Funktion, die modelliert, mittelt Einkommen. Die Wurzeln sind \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\links( h \rechts) = – 150\links( 7 \rechts)\links( {7 – 14} \rechts) = 7350\)

Antworten

Der maximale Umsatz beträgt 7.350 $ und wird mit einem Preis von 7 $ erzielt; Verkauf von durchschnittlich 1050 Rollen pro Woche.

Anwendungsbeispiel 4: Wirtschaftswissenschaften

Die Kosten für die Herstellung von \(n\) Stühlen an einem Tag können mit der quadratischen Funktion berechnet werden:

\(C\links( n \rechts) = {n^2} – 200n + 13000\)

Bestimmen Sie die erzielbaren Mindestkosten.

Problemstellung

Der Graph von \(C\left( n \right)\) ist eine Parabel, die sich nach oben öffnet und ihr Minimum bei \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ left( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\links( {100} \rechts) = {\links( {100} \rechts)^2} – 200\links( {100} \rechts) + 13000 = 3000\)

Antworten

Die niedrigstmöglichen Kosten betragen 3000 $ und werden durch die Herstellung von 100 Stühlen erreicht.

Anwendungsbeispiel 5: Geometrie

Eine Raute hat eine Fläche von 21 cm2; Wenn die Summe der Längen seiner Diagonalen 17 cm beträgt, wie lang ist dann jede Diagonale der Raute?

Problemstellung: Der Flächeninhalt einer Raute berechnet sich mit:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Mit \(D\) und \(d\) den Längen seiner Diagonalen ist auch bekannt:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Durch Substitution erhält man:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Schließlich erhalten wir die Gleichung

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Lösung
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Ausgangssituation
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Multipliziere mit \( – 40\) auf jeder Seite der Gleichung
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Das Produkt wurde entwickelt.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Wir haben \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ rechts) = 42\) und \( – 14 – 3 = – 17\)
faktorisiert
Lösungen der Gleichung \(d = 3,14\)
Antworten:

Die Diagonalen der Raute betragen 14 cm und 3 cm.

Anwendungsbeispiel 6: Geometrie

Es ist erwünscht, einen rechteckigen Hühnerstall von 140 m2 zu bauen, wobei ein ziemlich langer Zaun genutzt wird, der den Boden des Hühnerstalls bilden wird. Die anderen drei Seiten werden mit 34 Laufmetern Maschendraht gebaut, wie groß sollte die Länge und Breite des Hühnerstalls sein, um die gesamte Maschenweite zu nutzen?

Was ist die maximale Fläche, die unter gleichen Bedingungen mit denselben Maschen eingezäunt werden kann?

Problemstellung: Gemäß dem Diagramm ist die Fläche gleich:

\(A\links( x \rechts) = x\links( {34 – 2x} \rechts) = 2x\links( {17 – x} \rechts)\)

Wo \(x\) ist die Länge der Seite senkrecht zum Zaun.

Um die Maße des Rechtecks ​​zu kennen, damit es eine Fläche von 140 m2 hat, reicht es aus, die Gleichung zu lösen

\(2x\links( {17 – x} \rechts) = 140\)

Da der Graph von \(A\left( x \right)\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, um den Maximalwert der Fläche zu berechnen, reicht es aus, den Scheitelpunkt der Parabel zu berechnen.

Antworten
Maße des Rechtecks ​​mit einer Fläche von 140 m2
Länge der Seite senkrecht zum Zaun

\(x\) Länge der Seite parallel zum Zaun

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Die erste Koordinate des Scheitelpunkts ist \(h = \frac{{17}}{2}\) und

\(A\links( h \rechts) = \frac{{289}}{2}\)

Die Fläche ist maximal, wenn die senkrechte Seite \(\frac{{17}}{2}\;\)m misst und die parallele Seite 17m misst, sie misst 17m, der Wert der maximal erreichten Fläche ist \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graph einer quadratischen Funktion

Aus geometrischer Sicht sind die Wurzeln die Punkte, an denen der Graph einer Funktion die \(x\)-Achse schneidet.

Aus dem Ausdruck

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Wir werden die allgemeine Form des Graphen einer quadratischen Funktion festlegen.

Erster Fall \(a > 0\) und \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\links( x \rechts)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

In diesem Fall erfüllt der Graph:

Symmetrisch: Mit Symmetrieachse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Das ist \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Sie liegt über der \(x\)-Achse und schneidet sie nicht. Das heißt, \(f\left( x \right) > 0\) hat keine echten Nullstellen.

Der niedrigste Punkt auf dem Diagramm ist bei Punkt \(\left( {h, k} \right)\). Das ist \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Zweiter Fall \(a < 0\) und \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\links( x \rechts)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

In diesem Fall erfüllt der Graph:

Symmetrisch: Mit Symmetrieachse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Das ist \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Sie liegt unterhalb der \(x\)-Achse und schneidet sie nicht. Das heißt, \(f\left( x \right) < 0\) hat keine echten Nullstellen. Der höchste Punkt im Diagramm ist der Punkt \(\left( {h, k} \right)\). Das ist \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Dritter Fall \(a > 0\) und \(k \le 0\).

Dieser Fall ähnelt dem ersten Fall, der Unterschied besteht darin, dass wir jetzt eine reelle Wurzel (wenn \(k = 0\) ) oder zwei reelle Wurzeln haben.

In diesem Fall erfüllt der Graph:

Symmetrisch: Mit Symmetrieachse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Das ist \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Sie schneidet die \(x\)-Achse, hat also mindestens eine reelle Nullstelle.

Der niedrigste Punkt auf dem Diagramm ist bei Punkt \(\left( {h, k} \right)\). Das ist \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Vierter Fall \(a < 0\) und \(k \ge 0\). Dieser Fall ähnelt dem zweiten Fall, der Unterschied besteht darin, dass wir jetzt eine reelle Wurzel (wenn \(k = 0\) ) oder zwei reelle Wurzeln haben. In diesem Fall erfüllt der Graph:

Symmetrisch: Mit Symmetrieachse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Das ist \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Der niedrigste Punkt auf dem Diagramm ist bei Punkt \(\left( {h, k} \right)\). Das ist \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt und seine hervorzuhebenden Elemente sind die Symmetrieachse, die Punkte, an denen sie sich schneidet zur \(x\)-Achse und dem Scheitelpunkt, der der Punkt auf dem Graphen der Funktion ist, wo sie ihren niedrigsten oder höchsten Punkt erreicht, je nachdem Fall.

Aufgrund der durchgeführten Analyse können wir Folgendes feststellen:

Die mit der quadratischen Funktion \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) verbundene Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei \(\left( {h, k} \right)\) wo :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

Beispiele

Quadratische Funktion \(y = {x^2}\)	wichtige Elemente
Scheitelpunkt der Parabel	\(\links( {0,0} \rechts)\)
Symmetrieachse der Parabel	\(x = 0\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse	\(\links( {0,0} \rechts)\)

Quadratische Funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	wichtige Elemente
Scheitelpunkt der Parabel	\(\links( {2,0} \rechts)\)
Symmetrieachse der Parabel	\(x = 2\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse	\(\links( {2,0} \rechts)\)

Quadratische Funktion \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	wichtige Elemente
Scheitelpunkt der Parabel	\(\links( { – 2, – 4} \rechts)\)
Symmetrieachse der Parabel	\(x = – 2\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Quadratische Funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	wichtige Elemente
Scheitelpunkt der Parabel	\(\links( {9,8} \rechts)\)
Symmetrieachse der Parabel	\(x = 9\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse	\(\links( {5,0} \rechts);\links( {13,0} \rechts)\)

Quadratische Funktion \(y = {x^2} + 1\)	wichtige Elemente
Scheitelpunkt der Parabel	\(\links( {0,1} \rechts)\)
Symmetrieachse der Parabel	\(x = 0\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse	Hat nicht

Quadratische Funktion \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	wichtige Elemente
Scheitelpunkt der Parabel	\(\links( {2, – 1} \rechts)\)
Symmetrieachse der Parabel	\(x = 2\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse	Hat nicht

Wenn die echten Nullstellen einer quadratischen Funktion existieren, können wir ihre zugehörige Parabel daraus graphisch darstellen. Angenommen, \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Dazu ist Folgendes zu berücksichtigen:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Als

\(k = f\links( h \rechts)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

Beispiele

Skizziere den Graphen der quadratischen Funktion \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Lösung

Die Wurzeln sind \(\alpha = 3\;\) und \(\beta = – 6\); dann \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

So können wir die folgende Tabelle erstellen

\(f\links( x \rechts) = 2\links( {x – 3} \rechts)\links( {x + 6} \rechts)\)	wichtige Elemente
Scheitelpunkt der Parabel	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Symmetrieachse der Parabel	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

Um den Graphen der Funktion zu skizzieren:

\(f\links( x \rechts) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Wir werden dieselben Ideen verwenden, die wir bereits verwendet haben; Dazu bestimmen wir zunächst den Scheitelpunkt.

In diesem Fall \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Da \(a > 0\), wird sich die Parabel „öffnen und \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Als nächstes berechnen wir \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Der Scheitelpunkt der Parabel ist bei \(\left( {3, – 23} \right)\) und da sie sich nach oben öffnet, schneidet die Parabel die \(x\;\)-Achse und ihre Symmetrieachse ist \ (x = 3\).

Betrachten wir nun die quadratische Funktion

\(f\links( x \rechts) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

In diesem Fall \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Da \(a < 0\), wird sich die Parabel nach unten „öffnen“ und \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Als nächstes berechnen wir \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ rechts) - 9 = - 4\) Der Scheitelpunkt der Parabel ist bei \(\left( {1, - 4} \right)\) und da sie sich nach unten öffnet, schneidet die Parabel die \(x\;\)-Achse nicht und ihre Symmetrieachse ist \(x = 1.\)