Definition der geometrischen Progression

Eine Folge von Zahlen \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Man spricht von einer geometrischen Progression, wenn ausgehend vom zweiten jedes Element aus der Multiplikation des vorherigen mit einer Zahl \(r\ne 0\) erhalten wird, d.h. wenn:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Wo:
- Die Zahl \(r\) heißt das Verhältnis der geometrischen Progression.
- Das Element \({{a}_{1}}\) heißt das erste Element der arithmetischen Folge.

Die Elemente der geometrischen Folge können durch das erste Element und sein Verhältnis ausgedrückt werden, das heißt:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} {{r}^{3}}\)

Sie sind die ersten vier Elemente der arithmetischen Folge; im Allgemeinen wird das \(k-\)-te Element wie folgt ausgedrückt:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Wenn \({{a}_{1}}\ne 0,~\) des vorherigen Ausdrucks erhalten wir:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} {{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Der obige Ausdruck ist äquivalent zu:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Beispiel/Übung 1. Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​und finden Sie die Elemente \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Lösung

Da \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) können wir schließen, dass das Verhältnis ist:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Beispiel/Übung 2. Bei einer arithmetischen Folge gilt: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), bestimme das Verhältnis der geometrischen Folge und schreibe die ersten 5 Elemente.

Lösung

Verschleiß

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Die ersten 5 Elemente der arithmetischen Folge finden; wir berechnen \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Die ersten 5 Elemente der geometrischen Progression sind:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\links( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \rechts)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Beispiel/Übung 3. Ein dünnes Glas absorbiert 2 % des Sonnenlichts, das es durchdringt.

Zu. Wie viel Prozent des Lichts durchdringen 10 dieser dünnen Gläser?

B. Wie viel Prozent des Lichts durchdringen 20 dieser dünnen Gläser?

C. Bestimmen Sie den Prozentsatz des Lichts, das durch \(n\) dünne Gläser mit denselben Eigenschaften fällt, die hintereinander platziert sind.

Lösung

Wir werden mit 1 das gesamte Licht darstellen; indem 2 % des Lichts absorbiert werden, gehen 98 % des Lichts durch das Glas.

Wir werden mit \({{a}_{n}}\) den Prozentsatz des Lichts darstellen, das durch das Glas \(n\) fällt.

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Im Allgemeinen \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

Zu. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); was uns sagt, dass nach Glas 10 81,707% des Lichts durchgelassen wird

B. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); was uns sagt, dass nach Glas 20 66,761 % bestehen

Die Summe der ersten \(n\) Elemente einer geometrischen Folge

Gegeben sei der geometrische Verlauf \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Wenn \(r\ne 1\) die Summe der ersten \(n\) Elemente ist, ist die Summe:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Es kann mit gerechnet werden

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Beispiel/Übung 4. Berechnen Sie aus Beispiel 2 \({{S}_{33}}\).

Lösung

In diesem Fall \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) und \(r=-4\)

bewirbt sich

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\links(-4 \rechts)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Beispiel/Übung 5. Angenommen, eine Person lädt ein Foto ihres Haustieres hoch und teilt es mit 3 ihrer Freunde in einem sozialen Netzwerk im Internet, und zwar jeweils in einer Stunde sie, teilt das Foto mit drei anderen Personen und dann teilt letztere in einer weiteren Stunde das Foto mit 3 anderen Personen Menschen; Und so geht es weiter; Jede Person, die das Foto erhält, teilt es innerhalb einer Stunde mit 3 anderen Personen. Wie viele Leute haben das Foto in 15 Stunden bereits?

Lösung

Die folgende Tabelle zeigt die ersten Berechnungen
Zeit Personen, die das Foto erhalten Personen, die das Foto haben
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Die Anzahl der Personen, die das Foto in Stunde \(n\) erhalten, ist gleich: \({{3}^{n}}\)

Die Anzahl der Personen, die das Foto bereits in der Stunde haben, ist gleich:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

bewirbt sich

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Mit \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) und \(n=15\)

Wodurch:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometrische Mittel

Gegeben seien zwei Zahlen \(a~\) und \(b,\) die Zahlen \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k). +1}}\) heißen \(k\) geometrische Mittel der Zahlen \(a~\) und \(b\); wenn die Folge \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) eine geometrische Folge ist.

Um die Werte von \(k\) geometrischen Mitteln der Zahlen \(a~\) und \(b\) zu kennen, reicht es aus, das Verhältnis der arithmetischen Progression zu kennen, dazu muss Folgendes berücksichtigt werden:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Aus dem Obigen stellen wir die Beziehung her:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Durch Auflösen nach \(d\) erhalten wir:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Beispiel/Übung 6. Finden Sie 2 geometrische Mittel zwischen den Zahlen -15 und 1875.

Lösung

Bei der Bewerbung

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

mit \(b=375,~a=-15\) und \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Die 3 geometrischen Mittel sind:

\(75,-375\)

Beispiel/Übung 7. Eine Person hat 6 Monate lang jeden Monat Geld investiert und Zinsen erhalten, und ihr Kapital hat sich um 10 % erhöht. Angenommen, der Zinssatz ändert sich nicht, wie hoch war der monatliche Zinssatz?

Lösung

Sei \(C\) das investierte Kapital; das Endkapital ist \(1.1C\); Um das Problem zu lösen, müssen wir 5 geometrische Mittel setzen, indem wir die Formel anwenden:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Mit \(k=5,~b=1.1C\) und \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Die erhaltene monatliche Rate betrug \(1,6 %\)