Definition von gemischten, einheitlichen, homogenen und heterogenen Brüchen

Gemischt. Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl größer oder gleich eins und einem echten Bruch, der allgemeinen Schreibweise eines Bruchs gemischt hat die Form: \(a + \frac{c}{d},\) dessen Kompaktschreibweise ist: \(a\frac{c}{d},\;\), also: \(a\ Bruch{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Die Zahl \(a\) heißt der ganzzahlige Teil des gemischten Bruchs und \(\frac{c}{d}\) heißt sein Bruchteil.

homogen. Wenn zwei oder mehr Brüche den gleichen Nenner haben, werden sie als Brüche bezeichnet. Zum Beispiel die Brüche \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) sind homogen, weil sie alle denselben Nenner haben, der in diesem Fall \(4\) ist. Während die Brüche \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nicht homogene Brüche, da der Nenner von \(\frac{5}{2}\) \(2\) und der Nenner der anderen Brüche ist ist \(4\). Einer der Vorteile der homogenen Brüche ist, dass die arithmetischen Operationen der Addition und Subtraktion von Funktionen sehr einfach sind.

heterogen. Haben zwei oder mehr Brüche, von denen mindestens zwei nicht den gleichen Nenner haben, so spricht man von heterogenen Brüchen. Folgende Brüche sind heterogen: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

einheitlich. Ein Bruch wird als Einheit identifiziert, wenn der Zähler gleich 1 \(1,\) \(2\) ist. Die folgenden Brüche sind Beispiele für Einheitsbrüche: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Verbaler Ausdruck eines gemischten Bruchs

gemischte Fraktion	Verbaler Ausdruck
\(3\frac{1}{2} = \)	Dreieinhalb ganz
\(5\frac{3}{4} = \)	Fünf ganze Zahlen und drei Viertel
\(10\frac{1}{8} = \)	Zehn ganze Zahlen mit einem Achtel

Einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln

Gemischte Brüche sind zum Abschätzen nützlich, zum Beispiel lässt sich leicht feststellen:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Gemischte Brüche sind jedoch normalerweise unpraktisch, um Operationen wie Multiplikation und Division durchzuführen, weshalb es wichtig ist, wie man in einen gemischten Bruch umwandelt.

Die vorherige Abbildung stellt den gemischten Bruch \(2\frac{3}{4}\ dar, aus dem sich nun jede ganze Zahl zusammensetzt vier Viertel, also gibt es in 2 ganzen Zahlen 8 Viertel und zu diesen müssen wir die anderen 3 Viertel hinzufügen, das heißt sagen:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Allgemein:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Die folgende Tabelle zeigt weitere Beispiele.

gemischte Fraktion	Operationen durchzuführen	unechter Bruch
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Umwandlung eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

Um einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umzuwandeln, berechne den Quotienten und den Rest der Division des Zählers durch den Nenner. Der erhaltene Quotient ist der ganzzahlige Teil des gemischten Bruchs und der richtige Bruch ist \(\frac{{{\rm{Rest}}}}{{{\rm{Nenner}}}}\)

Beispiel

Um \(\frac{{25}}{7}\) in einen gemischten Bruch umzuwandeln:

Für die durchgeführten Operationen erhalten wir:

Die folgende Tabelle zeigt weitere Beispiele.

unechter Bruch	Berechnung des Quotienten und des Restes	unechter Bruch
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Alltagsgebrauch von gemischten und echten Brüchen

Im Alltag müssen wir messen, kaufen, Preise vergleichen, Rabatte anbieten; Zum Messen benötigen wir Maßeinheiten und sie bieten nicht immer ganze Einheiten der Produkte an und Sie bezahlen nicht immer mit einer ganzen Menge Münzen einer Einheit.

Beispielsweise ist es üblich, dass bestimmte Flüssigkeiten in Behältern verkauft werden, deren Inhalt \(\frac{3}{4}\;\) Liter, eine halbe Gallone oder eineinhalb Gallonen beträgt. Vielleicht fragen Sie beim Kauf einer Tube nach \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) und Sie müssen die Maßeinheit nicht sagen, die in diesem Fall Zoll ist.

Grundoperationen gleicher Brüche

Die Summe von \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{2}{4}\), wird im folgenden Schema veranschaulicht:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Während die Subtraktion wie folgt durchgeführt wird:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Allgemein gilt für homogene Fraktionen:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Die Ägypter und Einheitsfraktionen

Die ägyptische Kultur hat eine bemerkenswerte technologische Entwicklung vollzogen, die ohne eine der Mathematik ebenbürtige Entwicklung nicht möglich gewesen wäre. Es gibt historische Überreste, in denen Sie Aufzeichnungen über die Verwendung von Brüchen in der ägyptischen Kultur finden können, mit einer Besonderheit, dass sie nur einheitliche Brüche verwendeten.

Es gibt mehrere Fälle, in denen es so einfach ist, einen Bruch als Summe von Einheitsbrüchen zu schreiben

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Für den Fall, dass \(n = 2q + 1\), also ungerade, gilt:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Wir wollen dies an zwei Beispielen veranschaulichen.

Um \(\frac{2}{{11}}\) auszudrücken; in diesem Fall ist \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), also:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

das heißt,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Um \(\frac{2}{{17}}\) auszudrücken; in diesem Fall haben wir \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Als nächstes zeigen wir einige Brüche als Summe von Einheitsbrüchen,

Fraktion	Ausdruck als Summe von Einheitsbrüchen	Fraktion	Ausdruck als Summe von Einheitsbrüchen
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Unter Verwendung der vorherigen Tabelle können wir Brüche addieren und solche Summen ausdrücken; als Summe von Einheitsbrüchen.

Beispiele für heterogene Brüche

Beispiel 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Beispiel 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Schließlich können wir denselben Bruch als Summe von Einheitsbrüchen auf andere Weise ausdrücken als:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)