Definition von äquivalenten Brüchen

Zwei oder mehr Brüche heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Größe darstellen, also wenn
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
die Brüche \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{c}{d}\) heißen äquivalent.

Äquivalente Brüche: Grafische Darstellung

Betrachten Sie das Quadrat, das wir in Viertel, Drittel, Achtel und Zwölftel unterteilen werden.

Aus den vorherigen Abbildungen erkennen wir die folgenden Äquivalenzen:

Wie erhält man einen oder mehrere äquivalente Brüche?

Es gibt zwei grundlegende Methoden, um einen Bruch zu erhalten, der einem gegebenen Bruch entspricht.

1. Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben positiven Zahl.

Beispiele:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Es wird durch den gleichen positiven gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner dividiert.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Wenn in einem Bruch sowohl der Zähler als auch der Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler außer 1 dividiert werden, spricht man von einer Kürzung des Bruchs.

irreduzible Brüche

Ein Bruch heißt irreduzibler Bruch, wenn der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner gleich 1 ist.

Wenn \(ggT\left( {a, b} \right) = 1,\) ist, heißt der Bruch \(\frac{a}{b}\) irreduzibler Bruch.

Gegeben sei ein Bruch \(\frac{a}{b}\), um einen Bruch zu erhalten, der diesem Bruch entspricht und der auch ist ein irreduzibler Bruch Zähler und Zähler werden durch den größten gemeinsamen Teiler von \(a\;\) und von geteilt \(B.\)

Die folgende Tabelle zeigt Beispiele für irreduzible und reduzierbare Brüche; wenn es reduzierbar ist, zeigt es, wie man einen irreduziblen äquivalenten Bruch erhält.

Fraktion	Größter gemeinsamer Teiler	Nicht reduzierbar	irreduzibler äquivalenter Bruch
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	NEIN	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Ja	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	NEIN	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Ja	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	NEIN	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Äquivalente Brüche: verbale Darstellung.

Die folgende Tabelle zeigt aus numerischer Sicht zwei verschiedene Möglichkeiten, um gleichwertige Informationen anzuzeigen.

Verbale Phrase	Äquivalente Phrase (numerisch)	Argumentation
1930 sprachen in Mexiko 4 von 25 Menschen eine Muttersprache.	1930 sprachen in Mexiko 16 von 100 Menschen eine Muttersprache.	Beide Daten wurden mit 4 multipliziert
1960 sprachen in Mexiko 104 von 1.000 Menschen eine Muttersprache.	1960 sprachen in Mexiko 13 von 125 Menschen eine Muttersprache	Beide Daten wurden durch 8 dividiert.

Äquivalente Brüche: Dezimaldarstellung

Die folgende Tabelle zeigt verschiedene Dezimalzahlen und äquivalente Brüche, die sie darstellen.

Dezimalzahl	Fraktion	äquivalenter Bruchteil	Operationen
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Äquivalente Brüche: Darstellung in Prozent

Die folgende Tabelle zeigt verschiedene Dezimalzahlen und äquivalente Brüche, die sie darstellen.

Dezimalzahl	Fraktion	äquivalenter Bruchteil	Operationen
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Äquivalente Brüche: Von heterogen zu homogen

Bei zwei heterogenen Brüchen \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{c}{d}\) können wir zwei Brüche finden homogen, so dass ein Bruch dem Bruch \(\frac{a}{b}\;\) entspricht und der andere dem Bruch \(\frac{c}{d}\).

Als nächstes zeigen wir zwei Verfahren, um das auszuführen, was im vorherigen Absatz erwähnt wurde.

Beobachten wir:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele.

F. heterogen	Operationen	F. homogen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Der Nachteil dieses Verfahrens besteht darin, dass dabei sehr große Stückzahlen hergestellt werden können; In vielen Fällen lässt es sich vermeiden, wenn das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner berechnet wird und die zweite Methode auf der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen basiert.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches bei der Berechnung von Brüchen

Als nächstes, anhand von zwei Beispielen, wie man homogene Brüche erhält, indem man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner verwendet, das der gemeinsame Nenner der beteiligten Brüche sein wird.

Betrachten Sie die Brüche: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(12\) und \(18\) ist \(36\); Jetzt

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Betrachten Sie nun die Brüche: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(10\), \(14\) und \(3\) ist \(140\); Jetzt

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Aus den vorherigen Zahlen bemerken wir die folgende Tatsache:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Hier sind weitere Beispiele.

F. heterogen	Mindest gemeinsame Nenner	Operationen	F. homogen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)