Quadratische/quartische Gleichungsdefinition

Eine Gleichung zweiten Grades oder, falls dies nicht möglich ist, eine quadratische Gleichung in Bezug auf eine Unbekannte wird in der Form ausgedrückt:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Wo die Unbekannte \(x\) ist, solange \(a, b\) und c reelle Konstanten sind, mit \(a \ne 0.\)

Es gibt mehrere Techniken, um quadratische Gleichungen zu lösen, einschließlich Faktorisierung, in diesem Fall müssen wir die folgende Eigenschaft entsprechend der Auflösung berücksichtigen:

Wenn das Produkt zweier Zahlen Null ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Beide sind gleich Null.
2. Wenn einer nicht Null ist, dann ist der andere Null

Das Obige kann wie folgt ausgedrückt werden:
Wenn \(pq = 0\) dann \(p = 0\) oder \(q = 0\).

Praxisbeispiel 1: Lösen Sie die Gleichung \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Ausgangssituation
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Addiere 8 zu beiden Seiten der Gleichung, um nach \({x^2}\) aufzulösen
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Die Quadratwurzel erhält man, indem man nach dem Isolieren von \(x.\) sucht 8 wird faktorisiert und Eigenschaften von Radikalen und Potenzen werden angewendet.
\(\links| x \rechts| = 2\sqrt 2 \)	Sie erhalten die Wurzel von \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Die Lösungen von \({x^2} – 8\)=0 sind:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praxisbeispiel 2: Lösen Sie die Gleichung \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Ausgangssituation
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Die Quadratwurzel von 144 ist 12. Eine Differenz von Quadraten wird identifiziert.
\(\links( {x + 12} \rechts)\links( {x – 12} \rechts) = 0\)	Die Differenz der Quadrate wird faktorisiert
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Wir betrachten die Möglichkeit, dass der Faktor \(x + 12\) gleich 0 ist. Die erhaltene Gleichung wird gelöst.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Wir betrachten die Möglichkeit, dass der Faktor \(x – 12\) gleich 0 ist. Die erhaltene Gleichung wird gelöst.

Die Lösungen der Gleichung \({x^2} – 144 = 0\) sind

\(x = – 12,\;12\)

Praxisbeispiel 3: Lösen Sie die Gleichung \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Ausgangssituation
\(x\links( {x + 3} \rechts) = 0\)	\(x\) wird als gemeinsamer Faktor identifiziert und die Faktorisierung wird durchgeführt.
\(x = 0\)	Betrachten Sie die Möglichkeit, dass der Faktor \(x\) gleich 0 ist.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Wir betrachten die Möglichkeit, dass der Faktor \(x – 12\) gleich 0 ist. Die erhaltene Gleichung wird gelöst.

Die Lösungen der Gleichung \({x^2} + 3x = 0\), sind:
\(x = – 3,0\)

Praxisbeispiel 4: Lösen Sie die Gleichung \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Ausgangssituation
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Die Quadratwurzel von 49 ist 7 und \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Ein perfektes quadratisches Trinom wird identifiziert.
\({\links( {x – 7} \rechts)^2} = 0\)	Das perfekte quadratische Trinom wird als quadratisches Binom ausgedrückt.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Die Lösung von \({x^2} – 14x + 49 = 0\) lautet:
\(x = 7\)

Praxisbeispiel 5: Lösen Sie die Gleichung \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Ausgangssituation
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Das Produkt \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Er wird ausgedrückt als \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\links( {5x – 4} \rechts) – 3\links( {5x – 4} \rechts) = 0\)	Identifiziere \(2x\) als gemeinsamen Teiler im ersten Summanden und faktorisiere ihn. Identifiziere \( – 3\) als gemeinsamen Teiler im zweiten Summanden und faktorisiere ihn.
\(\links( {5x – 4} \rechts)\links( {2x – 3} \rechts) = 0\)	Faktorisiere den gemeinsamen Faktor \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Wir betrachten die Möglichkeit, dass der Faktor \(5x – 12\) gleich 0 ist. Die erhaltene Gleichung wird gelöst.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Betrachten Sie die Möglichkeit, dass der Faktor \(2x – 3\) gleich 0 ist. Die erhaltene Gleichung wird gelöst.

Die Lösungen von \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) sind:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praxisbeispiel 6: Lösen Sie die Gleichung \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Ausgangssituation Das Trinom ist kein perfektes Quadrat
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Addiere -1 zu jeder Seite der Gleichung.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Da \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) durch Hinzufügen von \({2^2}\) erhalten wir ein perfektes Quadrat.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Füge \({2^2}\;\) zu jeder Seite der Gleichung hinzu. Die linke Seite ist ein perfektes Quadrat.
\({\links( {x + 2} \rechts)^2} = 3\)	Das perfekte quadratische Trinom wird als quadratisches Binom ausgedrückt.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Ziehen Sie die Quadratwurzel von jeder Seite der Gleichung
\(\links| {x + 2} \rechts| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Löse nach \(x\).

Die Lösungen von \({x^2} + 4x + 1 = 0\) sind:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praxisbeispiel 7: Lösen Sie die Gleichung \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Ausgangssituation Das Trinom ist kein perfektes Quadrat.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Addiere 1 zu jeder Seite der Gleichung
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Multipliziere mit jeder Seite der Gleichung, sodass der Koeffizient von \({x^2}\) gleich 1 ist.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	Produkt verteilt wird Da \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), durch Hinzufügen von \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) ergibt ein perfektes quadratisches Trinom.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Addiere 3 zu beiden Seiten der Gleichung, um nach \({\left( {x + 2} \right)^2}\) zu lösen
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Das perfekte quadratische Trinom wird als drittes Binom ausgedrückt.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Ziehen Sie die Quadratwurzel von jeder Seite der Gleichung
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Löse nach \(x\).

Die Lösungen von \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) sind:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Das in der obigen Gleichung verwendete Verfahren wird verwendet, um die sogenannte allgemeine Formel für quadratische Lösungen zu finden.

Allgemeine Formel der Gleichung zweiten Grades.

Allgemeine Formel quadratischer Gleichungen

In diesem Abschnitt werden wir herausfinden, wie man auf allgemeine Weise eine quadratische Gleichung löst

Betrachten wir mit \(a \ne 0\) die Gleichung \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Da \(a \ne 0\) genügt es zu lösen:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Ausgangssituation
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Füge \( – \frac{c}{a}\) zu jeder Seite der Gleichung hinzu.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Da \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), durch Hinzufügen von \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) ergibt ein perfektes quadratisches Trinom.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} {{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Die linke Seite der Gleichung ist ein perfektes quadratisches Trinom.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Das perfekte quadratische Trinom wird als quadratisches Binom ausgedrückt. Der algebraische Bruch ist fertig.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^). 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Ziehen Sie die Quadratwurzel von jeder Seite der Gleichung.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Es gelten radikalische Eigenschaften.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Es gelten Absolutwerteigenschaften.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Füge auf jeder Seite der Gleichung \( – \frac{b}{{2a}}\) hinzu, um nach \(x\) aufzulösen
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Der algebraische Bruch ist fertig.

Der Term \({b^2} – 4{a^2}c\) heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Wenn die Diskriminante der obigen Gleichung negativ ist, sind die Lösungen komplexe Zahlen und es gibt keine reellen Lösungen. Komplexe Lösungen werden in diesem Hinweis nicht behandelt.

Gegeben sei die quadratische Gleichung \(a{x^2} + bx + c = 0\), wenn \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Dann lauten die Lösungen dieser Gleichung:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Der Ausdruck:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Sie wird die allgemeine Formel der quadratischen Gleichung genannt.

Praxisbeispiel 8: Lösen Sie die Gleichung \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(Zu\)	\(B\)	\(C\)	Diskriminierend	echte Lösungen
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Die Lösungen der Gleichung sind:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praxisbeispiel 9: Lösen Sie die Gleichung \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(Zu\)	\(B\)	\(C\)	Diskriminierend	echte Lösungen
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\links( {17} \rechts)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Die Lösungen der Gleichung sind:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praxisbeispiel 10: Lösen Sie die Gleichung \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(Zu\)	\(B\)	\(C\)	Diskriminierend	echte Lösungen
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Hat nicht

Verschiedene Gleichungen

Es gibt nichtquadratische Gleichungen, die in eine quadratische Gleichung umgewandelt werden können.Wir werden zwei Fälle sehen.

Praxisbeispiel 11: Finden der reellen Lösungen der Gleichung \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Durch die Änderung der Variablen \(y = \sqrt x \) bleibt die vorherige Gleichung wie folgt:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Also \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Da \(\sqrt x \) nur positive Werte bezeichnet, betrachten wir nur:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Antworten:

Die einzige wirkliche Lösung ist:
\(x = \frac{1}{9}\)

Ausgeführtes Beispiel 12: Lösen Sie die Gleichung \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Variablenänderung vornehmen:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Wir erhalten die Gleichung:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

Die möglichen Werte von \(y\) sind:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Von den oben genannten betrachten wir nur die positive Lösung.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Die Lösungen sind \(x = 9.\)