Definition der arithmetischen Progression

Eine Folge von Zahlen \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​wird als arithmetische Folge bezeichnet, wenn die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen gleich der gleichen Zahl \(d\) ist, das ist Ja:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Die Zahl \(d\) heißt die Differenz der arithmetischen Folge.

Das Element \({a_1}\) wird als erstes Element der arithmetischen Folge bezeichnet.

Die Elemente der arithmetischen Folge können durch das erste Element und seine Differenz ausgedrückt werden, d. h.:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Sie sind die ersten vier Elemente der arithmetischen Folge; Im Allgemeinen wird das \(k – \)-te Element wie folgt ausgedrückt:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Aus obigem Ausdruck erhalten wir:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Der obige Ausdruck ist äquivalent zu:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Beispiele für arithmetische Progression

1. Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​und finden Sie die Elemente \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Lösung

Da \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) können wir schließen, dass der Unterschied ist:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. Bei einer arithmetischen Folge haben wir: \({a_{17}} = 20\;\)und \({a_{29}} = – 130\), ermittle die Differenz der arithmetischen Folge und schreibe die ersten 5 Elemente.

Lösung

Verschleiß

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \links( {12} \rechts) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Um die ersten 5 Elemente zu finden; wir berechnen \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Die ersten 5 Elemente sind:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Vieleckzahlen und die Summe der ersten \(n\) Elemente einer arithmetischen Folge

Dreieckszahlen

Die Dreieckszahlen \({T_n}\;\) werden aus der arithmetischen Folge gebildet: \(1,2,3,4 \ldots \); auf die folgende Weise.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

Quadratzahl

Die Quadratzahlen \({C_n}\;\) werden aus der arithmetischen Folge gebildet: \(1,3,5,7 \ldots \); folgendermaßen

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

Fünfeckige Zahlen

Die Quadratzahlen \({P_n}\;\) werden aus der arithmetischen Folge gebildet: \(1,3,5,7 \ldots \); folgendermaßen

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Als nächstes zeigen wir die Formel, um die Summe der ersten \(n\) Elemente einer arithmetischen Folge zu finden.

Gegeben sei die arithmetische Folge \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) D\). Um die Summe \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) zu berechnen, kannst du die Formel verwenden:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

was äquivalent ist

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Durch Anwendung der vorherigen Formel erhält man die Formeln zur Berechnung der dreieckigen, quadratischen und fünfeckigen Zahlen; die in der folgenden Tabelle aufgeführt sind.

polygonale Zahl	\({a_1}\)	\(D\)	Formel
Dreieckig \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Quadrat \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Fünfeckig \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Beispiel für polygonale Zahlen

3. Berechnen Sie aus Beispiel 2 \({S_{33}}\).

Lösung

In diesem Fall \({a_1} = 200\) und \(d = – \frac{{25}}{2}\)

bewirbt sich

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

arithmetische Mittel

Bei zwei Zahlen \(a\;\) und \(b,\) heißen die Zahlen \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) \(k\) Mittel arithmetische Zahlen \(a\;\) und \(b\); wenn die Folge \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) eine arithmetische Folge ist.

Um die Werte des arithmetischen Mittels \(k\) der Zahlen \(a\;\) und \(b\) zu kennen, reicht es aus, den Unterschied der arithmetischen Progression zu kennen, dazu muss Folgendes gelten berücksichtigt:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Aus dem Obigen stellen wir die Beziehung her:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

Durch Auflösen nach \(d\) erhalten wir:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

Beispiele

4. Finden Sie 7 arithmetische Mittel zwischen den Zahlen -5 und 25.

Lösung

Bei der Bewerbung

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

mit \(b = 25,\;a = – 5\) und \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

Die 7 arithmetischen Mittel sind:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Eine Person gab 2.000 Dollar als Anzahlung für den Kauf eines Kühlschranks und bezahlte den Rest mit ihrer Kreditkarte für 18 Monate ohne Zinsen. Er muss monatlich 550 Dollar zahlen, um die Schulden zu begleichen, die er erworben hat, um seinen Kühlschrank zu bezahlen.

Zu. Was kostet der Kühlschrank?

B. Wenn Sie den Rest über 12 Monate ohne Zinsen gezahlt haben, wie hoch wäre die monatliche Zahlung?

Lösung

Zu. In diesem Fall:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

B. Zwischen den Zahlen 2000 und 11900 müssen wir 11 arithmetische Mittel finden, für die:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Gegeben die Sequenz \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) finden Sie die folgenden 3 Elemente und den allgemeinen Ausdruck des Elements \(n\).

Lösung

Die fragliche Folge ist keine arithmetische Folge, da \(22 – 7 \ne 45 – 22\), aber wir können sie bilden eine Sequenz mit den Unterschieden zweier aufeinanderfolgender Elemente und die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse:

Elemente der Folge \({b_n}\)	Folge \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Die dritte Spalte der obigen Tabelle sagt uns, dass die Folge \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); ist eine arithmetische Folge, deren Differenz \(d = 8\) ist.

Als nächstes schreiben wir die Elemente der Folge \({b_n}\) in Bezug auf die Folge \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Im Allgemeinen haben Sie:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Bei der Bewerbung

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Mit \({c_1} = 7\) und \(d = 8,\) erhalten wir:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\left( {4n + 3} \right)\)

Durch Anwendung der vorherigen Formel: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)