Definition der Rationalisierung von Radikalen (Mathematik)

Die Rationalisierung von Radikalen ist ein mathematischer Prozess, der durchgeführt wird, wenn im Nenner ein Quotient mit Radikalen oder Wurzeln steht. Auf diese Weise können mathematische Operationen erleichtert werden, bei denen es um Quotienten mit Radikalen und andere Arten mathematischer Objekte geht.

Arten von Quotienten mit Radikalen

Es ist wichtig, einige Arten von Quotienten mit Radikalen zu erwähnen, die rationalisiert werden können. Bevor wir uns jedoch voll und ganz auf den Rationalisierungsprozess einlassen, müssen einige wichtige Konzepte beachtet werden. Nehmen wir zunächst an, wir haben den folgenden Ausdruck: \(\sqrt[m]{n}\). Dies ist die Wurzel \(m\) der Zahl \(n\), d. h. das Ergebnis dieser Operation ist eine Zahl, deren Potenz \(m\) uns die Zahl \(n\) ergibt. als Ergebnis). Die Potenz und die Wurzel sind Umkehroperationen, sodass gilt: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Andererseits ist es erwähnenswert, dass das Produkt zweier gleicher Wurzeln gleich der Wurzel des Produkts ist, das heißt: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Diese beiden Eigenschaften werden unsere besten Verbündeten bei der Rationalisierung sein.

Der häufigste und einfachste Quotiententyp mit einer Wurzel, den wir finden können, ist der folgende:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Dabei können \(a\), \(b\) und \(c\) beliebige reelle Zahlen sein. Der Rationalisierungsprozess besteht in diesem Fall darin, einen Weg zu finden, im Quotienten den Ausdruck \(\sqrt {{c^2}} = c\) zu erhalten, um das Radikal loszuwerden. In diesem Fall reicht es aus, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit \(\sqrt c \) zu multiplizieren:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Wenn wir uns an das oben Gesagte erinnern, wissen wir, dass \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Daher erhalten wir schließlich Folgendes:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Auf diese Weise haben wir den vorherigen Ausdruck rationalisiert. Dieser Ausdruck ist nichts anderes als ein Sonderfall eines allgemeinen Ausdrucks, der wie folgt lautet:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Dabei sind \(a\), \(b\), \(c\) beliebige reelle Zahlen und \(n\), \(m\) positive Potenzen. Die Rationalisierung dieses Ausdrucks basiert auf dem gleichen Prinzip wie der vorherige, das heißt, man erhält den Ausdruck \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) im Nenner. Wir können dies erreichen, indem wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) multiplizieren:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Das Produkt der Radikale im Nenner können wir wie folgt entwickeln: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Daher bleibt der rationalisierte Quotient wie folgt:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – M}}}}\)

Eine andere Art von Quotienten mit Radikalen, die rationalisiert werden kann, ist die, bei der wir ein Binomial mit Quadratwurzeln im Nenner haben:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Dabei sind \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) und \(e\;\) beliebige reelle Zahlen. Das Symbol \( ± \) gibt an, dass das Vorzeichen positiv oder negativ sein kann. Das Nennerbinomial kann beide Wurzeln oder nur eine haben. Wir verwenden diesen Fall jedoch, um ein allgemeineres Ergebnis zu erhalten. Der Grundgedanke zur Durchführung des Rationalisierungsprozesses ist in diesem Fall derselbe wie in den vorherigen Fällen, nur dieser In diesem Fall multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem Konjugat des in gefundenen Binomials Nenner. Das Konjugat eines Binomials ist ein Binomial, das die gleichen Begriffe hat, dessen zentrales Symbol jedoch dem ursprünglichen Binomial entgegengesetzt ist. Beispielsweise ist das Konjugat des Binomials \(ux + vy\) \(ux – vy\). Davon abgesehen haben wir dann:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Das Symbol \( \mp \) gibt an, dass das Vorzeichen positiv oder negativ sein kann, aber es muss entgegengesetzt zum Symbol des Nenners sein, damit die Binome konjugiert werden. Durch die Entwicklung der Multiplikation der Binomiale des Nenners erhalten wir Folgendes:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Endlich bekommen wir das:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Damit haben wir den Quotienten mit Radikal rationalisiert. Diese Quotienten mit Radikalen sind diejenigen, die im Allgemeinen rationalisiert werden können. Als nächstes werden wir einige Beispiele für die Rationalisierung von Radikalen sehen.

Beispiele

Schauen wir uns einige Beispiele für die Rationalisierung mit Quotienten mit Radikalen der oben genannten Art an. Nehmen wir zunächst an, dass wir den folgenden Quotienten haben:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

In diesem Fall reicht es aus, den Zähler und den Nenner mit \(\sqrt 2 \) zu multiplizieren.

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Nehmen wir nun an, wir haben den folgenden Quotienten mit der Wurzel:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

In diesem Fall haben wir eine sechste Wurzel einer Kubikpotenz. Im vorherigen Abschnitt haben wir erwähnt, dass, wenn wir ein Radikal der Form \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) im haben Nenner können wir den Quotienten rationalisieren, indem wir Zähler und Nenner mit \(\sqrt[n]{{{c^{n) multiplizieren -M}}}}\). Wenn wir dies mit dem hier dargestellten Fall vergleichen, können wir erkennen, dass \(n = 6\), \(c = 4\) und \(m = 3\). Daher können wir den vorherigen Quotienten rationalisieren, indem wir den Zähler und den Nenner mit multiplizieren \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Nehmen wir abschließend an, wir hätten die folgende Funktion:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, müssen Sie zur Rationalisierung dieser Art von Quotienten mit Radikalen den Zähler und den Nenner mit dem Konjugat des Nenners multiplizieren. In diesem Fall wäre das Konjugat des Nenners \(x – \sqrt x \). Daher würde der Ausdruck wie folgt lauten:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Wenn wir die Multiplikation konjugierter Binome des Nenners entwickeln, erhalten wir schließlich Folgendes:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Verweise

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel und Reyes Ricardo. (2009). Arithmetik. Mexiko: Pearson Education.